Hadamards Lemma

Hadamards lemma ( engelska Hadamard's lemma , franska Lemme de Hadamard ) är ett uttalande som beskriver strukturen hos en jämn reell funktion. Uppkallad efter den franske matematikern Jacques Hadamard [1] .

Låta vara en funktion av klassen , där , definieras i en konvex grannskap av punkten . Sedan finns det funktioner i klassen , definierade i , så att likheten gäller för alla [1] $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle C^{r))$ $r\geqslant 1$ $U$ $0$ $g_{1},\;\ldots ,\;g_{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $C^{r-1}$ $U$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in U$

f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{ i}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(0 ).

Om funktionen är analytisk är funktionerna i formeln ovan analytiska. $f$ ${\displaystyle g_{1},\;\ldots ,\;g_{n))$

Generaliserad formulering

Hadamards lemma kan formuleras i en mer generell form, när några av variablerna spelar rollen som parametrar:

Låta vara en funktion av klassen , där , definieras i en konvex grannskap av punkten , och . Sedan finns det funktioner i klassen definierade så att likheten gäller för alla $f(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle C^{r))$ $r\geqslant 1$ $U$ $0$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ $y=(y_{1},\;\ldots ,\;y_{m})$ $g_{1}(x,\,y),\;\ldots ,\;g_{n}(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R } ^{m}\to \mathbb {R}$ $C^{r-1}$ $U$ $(x,\,y)\in U$

f(x,\,y)=f(0,\,y)+\summa _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{i}(x,\, y),\quad g_{i}(0,\,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(0,\,y).

Bevis .

Tänk på hjälpfunktionen , där är en extra reell variabel (parameter). Låt gå igenom värdena från segmentet , då körs funktionen , betraktad som en funktion för varje fast värde på parametern , i utrymmet för funktioner av variabler någon kurva med ändar och . $f(tx,\,y)=f(tx_{1},\,\ldots ,\,tx_{n},\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $t$ $t$ $[0,\,1]$ $f(tx,\,y)$ $\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ $t$ $n+m$ $f(0,\,y)$ $f(x,\,y)$

Med tanke på som en funktion av variabeln beroende på parametrarna och , och tillämpa Newton-Leibniz formel , kan vi skriva: $f(tx,\,y)$ $t$ $x\in R^{n}$ ${\displaystyle y\in R^{m))$

f(x,\,y)-f(0,\,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,\,y)}{dt))\, dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(tx, \,y)\,dt=\summa _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,\,y),

var

g_{i}(x,\,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(tx,\,y) \,dt.

Den erforderliga jämnheten av funktioner följer av det välkända teoremet om differentiering av en integral beroende på en parameter, vilket bevisas under loppet av matematisk analys. $g_{i}(x,\,y)$

Applikationer

Hadamards lemma tillåter oss att erhålla ett antal användbara konsekvenser som finner tillämpningar inom olika grenar av matematiken, främst inom teorin om singulariteter .

Morses Lemma kan lätt bevisas med Hadamards lemma .
En annan användbar konsekvens av Hadamards lemma (i dess generaliserade form) är att om en grodd av en jämn funktion försvinner på hyperplanet , då kan den representeras som var är någon jämn funktion. $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $x=0$ $f=x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),$ $g$
Detta innebär att grodden till en jämn funktion har representationen var och är jämna funktioner. $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_ {m}),$ $f_{0}=f(0,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $g$
Med hjälp av induktion är det också lätt att få en mer allmän uppfattning härifrån:

f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{ m})+\ldots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x^{n+1}\,g(x, \,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),

där och är jämna funktioner och är ett godtyckligt naturligt tal. $f_{i}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $g$ $n$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Zorich V.A. Matematisk analys.

Litteratur

Zorich V.A. Matematisk analys.
Pavlova N.G., Remizov A.O. En introduktion till singularitetsteori . - M. : MIPT, 2022. - 181 sid. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .