Linjär kombination

En linjär kombination är ett uttryck som bygger på en uppsättning element genom att multiplicera varje element med koefficienter och sedan addera resultaten (till exempel kommer en linjär kombination av x och y att vara ett uttryck av formen ax + by , där a och b är koefficienter) [1] [2] [3] .

Begreppet linjär kombination är ett av nyckelbegreppen inom linjär algebra och relaterade områden inom matematiken. I det klassiska fallet betraktas en linjär kombination i samband med vektorrum , men det finns generaliseringar till godtyckliga moduler över ringar och bimoduler

Definition

Låt K vara ett fält (till exempel fältet av reella tal) och V ett vektorrum över K (elementen i V är vektorer och elementen i K är skalärer ). Om är vektorer och är skalärer, då är den linjära kombinationen av dessa vektorer med skalärer som koefficienter: $\mathbb {R}$ $v_{1},\dots ,v_{n}$ $a_{1},\dots ,a_{n}$

a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}

Det finns en viss tvetydighet i tillämpningen av termen "linjär kombination", eftersom det kan hänvisa till både själva uttrycket och dess resultat. I de flesta fall antyds mening, eftersom mängden av alla linjära kombinationer alltid bildar ett delrum. Men man kan också säga "två olika linjära kombinationer kan ge samma värde", i vilket fall den linjära kombinationen ska förstås som ett uttryck. Den subtila skillnaden mellan dessa begrepp är kärnan i konceptet linjärt beroende - en familj av vektorer F är linjärt oberoende exakt när någon linjär kombination av vektorer från F (som ett värde) är unik (som ett uttryck). I alla fall, även om den linjära kombinationen betraktas som ett uttryck, gäller allt detta koefficienterna för varje ; triviala förändringar (som att permutera element eller lägga till element med nollkoefficienter) ger inte en annan linjär kombination. $v_{1},\dots ,v_{n}$ $v_{i}$

Beroende på situationen kan K och V ges explicit, eller så kan de vara uppenbara från sammanhanget. I det senare fallet talar man ofta om en linjär kombination av vektorer med godtyckliga koefficienter (förutom att de måste tillhöra K ). Eller, om S är en delmängd av V , då kan vi tala om en linjär kombination av vektorer från S , där både koefficienter och vektorer inte är specificerade - förutom kravet att vektorerna måste tillhöra mängden S , och koefficienterna måste hör till fältet K ). Slutligen kan man helt enkelt tala om en linjär kombination där ingenting är specificerat (förutom att vektorerna måste tillhöra mängden V och koefficienterna måste tillhöra fältet K ). I det här fallet talar vi troligen om uttryck, eftersom vilken vektor som helst i V definitivt är värdet av någon linjär kombination. $v_{1},\dots ,v_{n}$

Per definition inkluderar en linjär kombination endast ett ändligt antal vektorer (förutom de speciella generaliseringarna ). Mängden S från vilken vektorerna tas kan dock vara oändlig. Varje enskild linjär kombination inkluderar endast ett ändligt antal vektorer från denna uppsättning. Det finns heller ingen anledning till varför n inte kan vara noll: i detta fall anses resultatet av den linjära kombinationen vara nollvektorn i V .

Exempel och motexempel

Vektorer

Låt fältet K vara mängden av reella tal , och rymden av vektorer V vara det euklidiska rummet . Varje vektor i är en linjär kombination av enhetsvektorer . Till exempel kan en vektor skrivas: $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0),e_{3}=(0,0,1)$ $(a_{1},a_{2},a_{3})$

(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3 })

=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)

=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}.

Funktioner

Låt K vara mängden av alla komplexa tal , och låt V vara mängden av alla kontinuerliga funktioner från den reella linjen till det komplexa planet . Med vektorerna (funktionerna) f och g definierade av formlerna (här är e basen för den naturliga logaritmen och i är den imaginära enheten ): $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

f(t)=e^{{it}}

... _

g(t)=e^{{-it}}

man kan bland annat få följande linjära kombinationer av dem:

$\cos t={\begin{matrix}{\frac 12}\end{matrix}}e^{{it}}+{\begin{matrix}{\frac 12}\end{matrix}}e^{{ -Det}}$ ,
$2\sin t=(-i)e^{{it}}+(i)e^{{-it}}$ .

Å andra sidan är konstantfunktionen 3 inte en linjär kombination av f och g [4] .

Polynom

Låt K vara , eller vilket fält som helst, och låt V vara mängden P för alla polynom med koefficienter från K . Låt vektorer (polynom) ges . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $p_{1}=1,p_{2}=x+1,p_{3}=x^{2}+x+1$

Är polynomet x 2 − 1 en linjär kombination av p 1 , p 2 och p 3 ? För att avgöra om ett polynom är en linjär kombination kan du skriva en kombination med godtyckliga koefficienter och likställa det med ett givet polynom: $x^{2}-1$ $p_{1},p_{2},p_{3}$ $a_{1},a_{2},a_{3}$

a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1

Öppna fästena:

(a_{1})+(a_{2}x+a_{2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1

och ger homogena polynom:

a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})=1x^{2}+0x+(-1)

det visar sig:

a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1

Lösningen på detta linjära ekvationssystem är . Således skrivs det givna polynomet som en linjär kombination : $a_{1}=-1,a_{2}=-1,a_{3}=1$ $p_{1},p_{2},p_{3}$

x^{2}-1=-1-(x+1)+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}

Ett annat exempel är att det inte kan representeras av en linjär kombination : $x^{3}-1$ $p_{1},p_{2},p_{3}$

0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})

=1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1),

När vi nu likställer koefficienterna för får vi en motsägelse . $x^{3}$ $0=1$

Linjärt skal

Låt } vara vektorer i något vektorrum V över något fält K . Uppsättningen av alla linjära kombinationer av dessa vektorer kallas det linjära spann (eller helt enkelt span ) av vektorer från S. Beteckningar - eller : $S=\{v_{1},\dots ,v_{n}$ ${\mathrm {span}}(S)$ ${\mathrm {Sp}}(S)$

{\mathrm {Sp}}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{1 },\ldots ,a_{n}\subseteq K\}

Linjärt oberoende

För vissa uppsättningar kan vektorer representeras som en linjär kombination på ett tvetydigt sätt: $v_{1},\dots ,v_{n}$

v=\summa a_{i}v_{i}=\summa b_{i}v_{i}

, var .

(a_{i})\neq (b_{i})

Om vi subtraherar den tredje termen av likheten från den andra och betecknar koefficienterna , får vi en icke-trivial kombination som resulterar i en nollvektor: $c_{i}=a_{i}-b_{i}$

0=\summa c_{i}v_{i}.

Om detta är möjligt sägs mängden vara linjärt beroende . Annars är den linjärt oberoende . På liknande sätt talar man om beroendet eller oberoendet av en godtycklig uppsättning vektorer S. $v_{1},\dots ,v_{n}$

Om S är linjärt oberoende och spännvidden av S sammanfaller med V sägs S vara en bas i V .

Affina, koniska och konvexa kombinationer

Om vi ställer några villkor på koefficienterna som används i en linjär kombination får vi begreppen av begreppet barycentrisk kombination (eller affin kombination ), konisk kombination och konvex kombination, såväl som motsvarande begrepp för mängder av sådana linjära kombinationer.

Kombinationstyp	Oddsgränser	Ange namn	rymdmodell
Linjär kombination	utan gränser	vektor underrum	${\mathbf {R}}^{n}$
barycentrisk kombination	$\summa a_{i}=1$	Affint underutrymme	Affint hyperplan
Konisk kombination	$a_{i}\geq 0$	konvex kon	Quadrant / Oktant
konvex kombination	$a_{i}\geq 0$ och $\summa a_{i}=1$	konvex uppsättning	Simplex

Eftersom det finns begränsningar för typen av kombinationer här får vi bredare klasser av objekt som ett resultat. Sålunda fungerar begreppen affina delmängder, konvexa koner och konvexa uppsättningar som generaliseringar av konceptet med ett vektordelrum: ett vektorunderrum är samtidigt ett affint delrum, en konvex kon och en konvex mängd, men en konvex mängd är inte nödvändigtvis en vektor eller affint delrum eller en konvex kon. .

Dessa begrepp uppstår när vissa linjära kombinationer av objekt tas, men inte några. Till exempel är sannolikhetsfördelningar stängda under driften av att bilda konvexa kombinationer (och bildar en konvex mängd), men inte koniska, barycentriska eller linjära. Måtten på uppsättningar är stängda under driften av att bilda koniska kombinationer, men inte barycentriska eller linjära (de senare kombinationerna bestämmer laddningarna ).

Linjära och barycentriska kombinationer kan definieras för alla fält (eller ringar), medan koniska och konvexa kombinationer kräver begreppet "positiv" så att de bara kan definieras över ett ordnat fält (eller en ordnad ring ).

Om endast multiplikation med en skalär är tillåten, men inte addition, får vi en (inte nödvändigtvis konvex) kon . Det är ofta begränsat till att endast multiplicera med positiva skalärer.

Operad teori

I det mer allmänna språket inom operadteorin kan man se vektorrum som algebror över en operad (en oändlig direkt summa där endast ett ändligt antal termer är icke-noll), som parametriserar linjära kombinationer. (Till exempel motsvarar en vektor i ett sådant tillvägagångssätt en linjär kombination av .) På liknande sätt kan barycentriska, koniska och konvexa kombinationer ses som motsvarande deloperationer vars termer summerar till 1, vars termer är icke-negativa, eller båda ; sådana kombinationer skulle vara oändliga affina hyperplan , oändliga hyperoktanter och oändliga förenklingar . $\mathbb{R} ^{\infty }$ $(2,3,-5,0,\prickar)$ $2v_{1}+3v_{2}-5v_{3}+0v_{4}+\cdots$

Ur denna synvinkel kan en linjär kombination betraktas som den mest allmänna operationen i ett vektorrum - om ett vektorrum är en algebra över en operad av en linjär kombination betyder detta exakt att alla möjliga algebraiska operationer i ett vektorrum är linjära kombinationer.

De grundläggande operationerna addition och multiplikation med en skalär, tillsammans med förekomsten av additiv likhet och additiv inversion, kan inte kombineras på ett mer komplext sätt än att bilda en linjär kombination. Dessa grundläggande operationer är genereringsuppsättningen för operationen av alla linjära kombinationer.

Generaliseringar

Om V är ett topologiskt vektorrum , så är det möjligt, om man använder topologin av V på ett väsentligt sätt , att ge mening åt några oändliga linjära kombinationer av element i det givna utrymmet. Till exempel skulle man kunna prata om (till oändlighet). Sådana oändliga linjära kombinationer är inte alltid vettiga: vanligtvis kan endast konvergerande kombinationer ges betydelse. En ökning av beståndet av tillåtna linjära kombinationer kan leda till en förändring av omfattningen av begreppen skal, linjärt oberoende och bas. $a_{1}v+a_{2}v+a_{3}v+\dots$

Om K är en kommutativ ring och inte ett fält, så generaliserar allt som sades om linjära kombinationer ovan till detta fall utan förändring. Den enda skillnaden är att sådana utrymmen kallas moduler (inte vektorrum), och inte alla resultat som är giltiga för vektorutrymmen förblir giltiga för moduler.

Om K är en icke-kommutativ ring, så kan konceptet med en linjär kombination med koefficienter från K också introduceras - med en egenhet: eftersom moduler över en icke-kommutativ ring kan vara vänster och höger , då kan en linjär kombination också vara vänster och höger.

Mer komplicerad är situationen när V är en bimodul över två ringar och . I det här fallet är den mest allmänna formen av en linjär kombination som följer: $K_{L}$ $K_{R}$

a_{1}v_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}b_{n}

där tillhöra , tillhöra och tillhöra V . $a_{1},\dots ,a_{n}$ $K_{L}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))$ $K_{R}$ $v_{1},\dots ,v_{n}$

Anteckningar

↑ David C. Lay. . Linjär algebra och dess tillämpningar. 3:e uppl . — Reading, Mass.: Addison–Wesley , 2006. — 576 sid. - ISBN 0-321-28713-4 .
↑ Gilbert Strang. . Linjär algebra och dess tillämpningar. 4:e uppl. - Belmont, Kalifornien: Brooks Cole , 2005. - viii + 487 sid. - ISBN 0-03-010567-6 .
↑ Sheldon Axler. . Linjär algebra gjort rätt. 2:a uppl. - New York: Springer , 2002. - viii + 251 s. — ISBN 0-387-98258-2 .
↑ Antag att 3 kan skrivas som en linjär kombination och , Dvs det måste finnas skalärer och sådana att för alla reella tal . Ersätter och , vi får och . Se även " Eulers identitet (komplex analys) " $e^{{it}}$ $e^{{-it}}$ $a$ $b$ $ae^{{it}}+be^{{-it}}=3$ $t$ $t = 0$ $t=\pi$ $a+b=3$ $a+b=-3$

Länkar

Linjära kombinationer och spann: Förstå linjära kombinationer och spann av vektorer , khanacademy.org.