Härskad yta

En härdad yta är en yta som bildas av en rak linjes rörelse. Linjerna som hör till denna yta kallas rätlinjiga generatorer , och varje kurva som skär alla rätlinjiga generatorer kallas en riktande kurva .

Om är guidens radievektor, a är enhetsvektorn för generatrisen som passerar genom , då är radievektorn för den styrda ytan $p(u)$ $m=m(u)$ $p(u)$

r=p(u)+v\cdot m(u),

var är koordinaten för en punkt på generatrisen. $v$

Exempel

Reglerad helicoid
Reglerad hyperboloid
Hyperbolisk paraboloid
Cylinder, hyperboloider och kon som reglade ytor

Egenskaper

En reglerad yta kännetecknas av att dess asymptotiska nätverk är semi- geodesiskt .
Gaussisk krökning av en reglerad yta . $K\leq 0$
Beltramis sats. En reglerad yta kan alltid böjas på ett unikt sätt så att en godtycklig linje på den blir asymptotisk.
Bonnets teorem. Dessutom, om en reglerad yta , som inte är utvecklingsbar , böjer sig till en reglerad yta , så motsvarar antingen deras generatorer varandra, eller böjer de sig båda till en quadric på vilken nätverket som motsvarar familjer av generatorer är asymptotiskt. $F$ $F'$
Den enda minimala styrda ytan är helicoiden .
En styrd rotationsyta är en enbladig hyperboloid som kan degenereras till en cylinder, kon eller ett plan.
Det finns exempel på släta linjerade ytor som inte tillåter släta parametriseringar av formen $r(u,v)=p(u)+v\cdot m(u).$

Typer

En katalansk yta är en reglerad yta där alla rätlinjiga generatorer är parallella med samma plan.
En cylindrisk yta är en reglerad yta där alla rätlinjiga generatorer är parallella.
En konoid är en reglerad yta vars generatorer skär en fast linje.

I arkitektur

Sinusformat härdat tak, Sagrada Familia (Barcelona)
Didcot
Torn i Ciechanow
Kobe Tower .
Det första Shukhov-tornet, 1896 Nizhny Novgorod .
Shukhov Tower i Moskva.
trappa i Torrazzo Cremona .
Paraboltak Warszawa .
Konisk hatt.
St Nicholas rotunda i Selo, Slovenien

Variationer och generaliseringar

Ytor som bildas av en geodetiks rörelse i metriskt rymd kallas också styrda ytor. Det klassiska resultatet av Aleksandr Danilovich Aleksandrov säger att en reglerad yta i ett CAT(0)-utrymme med en inducerad inneboende metrik är ett CAT(0)-utrymme. [ett]

Anteckningar

↑ A. D. Aleksandrov , Regelade ytor i metriska utrymmen Arkivexemplar daterad 22 april 2021 på Wayback Machine , Bulletin of the Leningrad University No. 1, 1957, sid. 5-26

Litteratur

Regerade ytor // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.