Kongruens zeta-funktionen är en prototyp för att konstruera den viktiga Hasse-Weil L-funktionen , en serie av formen
,byggd på sekvensen av antalet punkter i en affin eller projektiv variation i finita fält.
Lokal zeta-funktion . För det finns en analog till Riemann-hypotesen .
Låta vara en affin eller projektiv variation över ett ändligt fält . Kongruens zeta-funktionen för ett grenrör definieras som en formell potensserie
,där , och är antalet poäng i . Siffrorna är ändliga på grund av ändligheten hos varje affin eller projektiv variation av finita dimensioner över ett ändligt fält.
En lokal zeta-funktion är en funktion , här är en egenskap hos fältet , är en komplex variabel.
Ta ekvationen , geometriskt betyder detta att det bara är en punkt. I det här fallet, alla . Sedan
Låt vara en projektiv linje över . Om , då har en punkt: alla punkter i fältet och en oändlig punkt. Följaktligen
där går genom alla stängda punkter och är graden av . I fallet, som diskuterades ovan, är slutna punkter ekvivalensklasser av punkter , där två punkter är ekvivalenta om de är konjugerade över fältet . Graden är graden av expansion av fältet som genereras av koordinaterna . Då kommer den logaritmiska derivatan av den oändliga produkten att vara lika med den genererande funktionen
.Hasse-Weyl L-funktionen definieras i termer av kongruens zeta-funktionen enligt följande
Om är en projektiv icke- singular kurva över , då kan det visas att
där är ett polynom av grad , var är släktet för kurvan . Tänka
då säger Riemann-hypotesen för kurvor över ändliga fält att
För den lokala zetafunktionen motsvarar detta uttalande det faktum att den verkliga delen av rötterna är .
Till exempel, för en elliptisk kurva får vi fallet när det finns exakt 2 rötter, och då kan vi visa att rotens absoluta värden är lika . Detta fall motsvarar Hasses teorem om att uppskatta antalet punkter i en kurva i ett ändligt fält.
Det följer av Lefschetz spårformel för Frobenius-morfismen att
Här är ett separerbart schema av ändlig typ över ett ändligt fält , och är en Frobenius geometrisk handling på kompakt stödd -adic etale kohomologi . Detta visar att den givna zetafunktionen är en rationell funktion .