Pendel av Kapitza

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 november 2016; kontroller kräver 8 redigeringar .

Pendeln hos Kapitza är ett system som består av en vikt fäst vid en lätt outtöjbar eker, som är fäst vid en vibrerande upphängning. Pendeln bär namnet på akademikern och nobelpristagaren P. L. Kapitsa , som 1951 byggde upp en teori för att beskriva ett sådant system [1] . Med en fast upphängningspunkt beskriver modellen en vanlig matematisk pendel , för vilken det finns två jämviktspositioner: vid bottenpunkten och vid topppunkten. I detta fall är jämvikten för den matematiska pendeln vid topppunkten instabil , och varje godtyckligt liten störning leder till en förlust av jämvikt.

En fantastisk egenskap hos Kapitza-pendeln är att, i motsats till intuitionen, kan pendelns inverterade (vertikala) position vara stabil vid snabba vibrationer av upphängningen. Även om en sådan observation gjordes redan 1908 av A. Stephenson [2] , fanns det under lång tid ingen matematisk förklaring till orsakerna till sådan stabilitet. P. L. Kapitsa undersökte experimentellt en sådan pendel och byggde också en teori om dynamisk stabilisering, som delade upp rörelsen i "snabba" och "långsamma" variabler och introducerade en effektiv potential. P. L. Kapitzas arbete, publicerat 1951 [1] , öppnade en ny riktning inom fysiken - vibrationsmekanik. PL Kapitsas metod används för att beskriva oscillerande processer inom atomfysik , plasmafysik och cybernetisk fysik . Den effektiva potentialen som beskriver den "långsamma komponenten av rörelse" beskrivs i volymen "mekanik" av kursen i teoretisk fysik av L. D. Landau [3] .

Kapitzas pendel är också intressant eftersom man i ett så enkelt system kan observera parametriska resonanser när den nedre jämviktspositionen inte längre är stabil och amplituden av små avvikelser hos pendeln ökar med tiden [4] . Dessutom, med en stor amplitud av tvingande svängningar, kan kaotiska lägen realiseras i systemet, när konstiga attraktioner observeras i Poincaré-sektionen .

Notation

Låt oss rikta axeln vertikalt uppåt, och axeln horisontellt, så att pendelns planrörelse sker i planet ( - ). Låt oss presentera notationen: $y$ $x$ $x$ $y$

$\nu$ är frekvensen för de framtvingande vertikala övertonssvängningarna hos upphängningen,
$a$ är amplituden för de tvingande vibrationerna,
$\omega _{0}={\sqrt {g/l))$ är den naturliga frekvensen för svängningar av den matematiska pendeln,
$g$ - tyngdacceleration,
$l$ - längden på ljusstaven,
$m$ - lastens vikt.

Om vinkeln mellan stången och axeln betecknas som , kommer beroendet av viktens koordinater att skrivas med följande formler: $y$ $\varphi$

\left\{{\begin{aligned}x&=l\sin \varphi ,\\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t.\end{aligned}}\right.

Pendelenergi

Pendelns potentiella energi i gravitationsfältet ges av viktens vertikala position as

E_{\text{pot}}=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).

I kinetisk energi, förutom den vanliga termen som beskriver rörelsen av en matematisk pendel, finns det ytterligare komponenter som orsakas av vibrationen från suspensionen: $E_{\text{kin}}=ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}/2$

E_{\text{kin}}={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t) \sin(\varphi ){\dot {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t).

Den totala energin ges av summan av kinetiska och potentiella energier , och systemets lagrangian ges av deras skillnad . $E=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}$ $L=E_{\text{kin}}-E_{\text{pot}}$

För en matematisk pendel är den totala energin en bevarad kvantitet, så den kinetiska energin och potentiella energin på grafen för deras beroende av tid är symmetriska kring en horisontell rät linje. Det följer av virialsatsen att den genomsnittliga kinetiska och potentiella energin i en harmonisk oscillator är lika. Därför motsvarar den horisontella linjen, med avseende på vilken det finns symmetri och , hälften av den totala energin. $E_{\text{kin}}$ $E_{\text{pot}}$ $t$ $E_{\text{kin}}$ $E_{\text{pot}}$

Om kardan svänger, så är den totala energin inte längre bevarad. Kinetisk energi är mer känslig för påtvingande vibrationer än potentiell energi. Potentiell energi är begränsad både uppifrån och underifrån: , medan kinetisk energi endast begränsas underifrån: . Vid höga frekvenser kan den kinetiska energin vara mycket större än den potentiella energin. $E_{\text{pot}}=mgy$ $-mg(l+a)<E_{\text{pot))<mg(l+a)$ $E_{\text{kin}}\geqslant 0$ $\nu$

Rörelseekvation

Pendelns rörelse uppfyller Euler-Lagrange-ekvationerna . Beroendet av pendelns fas av tiden bestämmer viktens position [5] : $\varphi$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }} .

Differentialekvation

{\ddot {\varphi }}=-(a\nu ^{2}\cos \nu t+g){\frac {\sin \varphi}{l)),

beskriver utvecklingen av pendelns fas icke-linjärt på grund av multiplikatorn som finns i den . Närvaron av en icke-linjär term kan leda till kaotiskt beteende och uppkomsten av konstiga attraktionsfaktorer . $\sin \varphi$

Jämviktspositioner

Kapitzas pendelmodell är mer generell än den matematiska pendelmodellen. Det senare erhålls i begränsningsfallet . Fasporträttet av en matematisk pendel är välkänt. På koordinatplanet är det bara en cirkel . Om pendelns energi vid det första ögonblicket var större än den maximala potentiella energin , kommer banan att vara stängd och cyklisk. Om energin i pendeln var mindre , kommer den att utföra periodiska svängningar runt den enda stabila jämviktspunkten med det lägsta värdet av potentiell energi . I fallet med en matematisk pendel förändras inte systemets totala energi. $a=0$ $x^{2}+y^{2}=l^{2}=\mathrm {const}$ $E>mgl$ $E<mgl$ $x=0,~y=-l$

I detta fall är systemet inte längre stängt och dess totala energi kan förändras. Om samtidigt frekvensen av de tvingande svängningarna är mycket större än frekvensen av naturliga svängningar , kan ett sådant fall analyseras matematiskt . Det visar sig [1] att om vi introducerar en effektiv potential där pendeln rör sig (långsamt i förhållande till frekvensen ), så kan denna potential ha två lokala minima - en, som tidigare, vid den nedre punkten och den andra vid övre punkten . Det vill säga, punkten för absolut instabil jämvikt för den matematiska pendeln kan visa sig vara punkten för stabil jämvikt för Kapitsa-pendeln. $a\neq 0$ $\nu$ $\omega_0$ $\nu$ $(0,-l)$ $(0,l)$ $(0,l)$

Fasporträtt

Intressanta fasporträtt kan erhållas för parametervärden som inte är tillgängliga för analytisk övervägande, till exempel vid en stor suspensionsoscillationsamplitud [6] [7] . Om vi ökar amplituden för de tvingande svängningarna till halva pendelns längd , får vi en bild som liknar den som visas i figuren. $a\approx l$ $a=l/2$

Med en ytterligare ökning av amplituden (med början från värdet ), börjar hela det interna utrymmet att "smutsa" helt, det vill säga om tidigare inte alla interna punkter i koordinatutrymmet var tillgängliga, nu kan systemet besöka vilken punkt som helst. Det är uppenbart att en ytterligare ökning av längden inte kommer att förändra bilden i grunden längre. $a$ $a=l$ $a$

Intressanta fakta

Som P. L. Kapitsa noterade, har pendelur på en vibrerande bas alltid bråttom.
I korridoren på Institutet för fysiska problem fanns en fungerande modell av Kapitsas pendel, och den som önskade kunde själv se hur pendeln, när den slogs på, reste sig och förblev i vertikalt läge.
Den effektiva potentiella metoden utvecklades av P. L. Kapitsa när han arbetade på en högfrekvensgenerator "Nigotron", uppkallad efter forskningsplatsen i hans dacha på Nikolina Gora. För att undvika problem med "sekretess" vid publicering av metoden kommer P. L. Kapitsa med en enkel fysisk modell som denna metod skulle vara tillämpbar på. Det finns alltså artiklar [1] om en pendel med vibrerande fjädring.
P. L. Kapitsa erbjöd sig att lösa problemet i en modifierad version till dem som gick in på hans forskarskola. Det krävdes att hitta stabilitetsvillkoret för en akrobat på ett bräde placerat på en cylinder som låg på sidan. Det förväntade svaret var att om akrobaten snabbt började kliva över hans fötter, så blev hans position stabil.
När man går ökar kroppens stabilitet flera gånger jämfört med stabiliteten när man står. Detta biomekaniska fenomen har ännu inte studerats. Det finns en hypotes som förklarar kroppens stabilitet när man går med oscillerande rörelser i mitten av fotleden. Människokroppen representeras från positionen för en inverterad pendel med ett centrum i området för fotlederna, som får stabilitet i vertikalt läge om dess centrum svänger upp och ner med en tillräckligt hög frekvens (Kapitzas pendel).

Litteratur

↑ 1 2 3 4 Kapitsa P.L. "Dynamisk stabilitet hos en pendel med en oscillerande upphängningspunkt" ZhETF, volym 21, nr. 5. sid. 588-597 (1951); Kapitsa P.L. "Pendulum with a vibrating suspension", UFN, vol. 44, nr. 1. S. 7-20 (1951).
↑ A. Stephenson "Om en inducerad stabilitet" Phil. Mag. 15, 233 (1908).
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Mechanics. - 5:e upplagan, stereotypt. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 sid. — (”Teoretisk fysik”, volym I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
↑ Butikov E. I. "Pendel med en oscillerande upphängning (med anledning av 60-årsjubileet av Kapitza-pendeln)", lärobok Arkivexemplar daterad 12 juli 2014 på Wayback Machine .
↑ Krainov V.P. Utvalda matematiska metoder i teoretisk fysik. MIPT Publishing House (1996).
↑ Astrakharchik G.E. och Astrakharchik N.A. "Research of the Kapitza pendulum" (GE Astrakharchik, NA Astrakharchik "Numerical study of Kapitza pendulum") arXiv:1103.5981 (2011)
↑ Realtidsvisualisering av Kapitsa-pendelns rörelser är tillgänglig på Internet på webbplatser Arkiverad kopia (otillgänglig länk) . Hämtad 8 april 2011. Arkiverad från originalet 1 oktober 2011. (obestämd) och http://faculty.ifmo.ru/butikov/Nonlinear/index.html Arkiverad 2 maj 2011 på Wayback Machine Pendelparametrar kan väljas godtyckligt och matas in manuellt.