Ising modell

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 oktober 2013; kontroller kräver 30 redigeringar .

Ising -modellen  är en matematisk modell av statistisk fysik utformad för att beskriva magnetiseringen av ett material.

Beskrivning

Varje vertex i kristallgittret (inte bara tredimensionella, utan även en- och tvådimensionella fall beaktas) tilldelas ett nummer som kallas spin och lika med +1 eller −1 ("fält upp" / "fält ner"). . Vart och ett av de möjliga alternativen för arrangemanget av snurr (där  är antalet gitteratomer) tilldelas energin som är ett resultat av den parvisa interaktionen mellan snurrarna hos angränsande atomer:

var  är interaktionsenergin (i det enklaste fallet samma för alla par av angränsande atomer). Ibland anses också ett externt fält (antas ofta vara litet):

Sedan, för en given reciprok temperatur , anses Gibbs-fördelningen på de resulterande konfigurationerna : sannolikheten för en konfiguration antas vara proportionell mot , och beteendet hos en sådan fördelning studeras för ett mycket stort antal atomer .

Till exempel, i modeller med dimensioner större än 1, sker en andra ordningens fasövergång : vid tillräckligt låga temperaturer kommer de flesta spinn av en ferromagnet (at ) att orienteras (med en sannolikhet nära 1) på samma sätt , och vid höga temperaturer kommer snurrorna nästan säkert att vara "upp" och "ner" nästan lika. Temperaturen vid vilken denna övergång inträffar (med andra ord, vid vilken materialets magnetiska egenskaper försvinner) kallas kritisk eller Curie-punkt . I närheten av fasövergångspunkten divergerar ett antal termodynamiska egenskaper. Erfarenheten visar att divergensen har en universell karaktär och bestäms endast av systemets symmetri. För första gången erhölls kritiska exponenter för divergenser för den tvådimensionella Ising-modellen på 40-talet av L. Onsager . För övriga dimensioner utförs studier med datorsimulering och renormaliseringsgruppmetoder . Motiveringen för användningen av renormaliseringsgruppen i detta fall är Kadanoffs blockkonstruktion och den termodynamiska likhetshypotesen .

Ising-modellen, som ursprungligen introducerades för att förstå ferromagnetismens natur, har befunnit sig i centrum för olika fysikaliska teorier relaterade till kritiska fenomen, vätskor och lösningar, spinnglasögon, cellmembran, modellering av immunsystemet , olika sociala fenomen, etc. Dessutom, denna modell fungerar som en testplats för att testa metoder för numerisk simulering av olika fysiska fenomen.

Exakta lösningar erhölls för de endimensionella och tvådimensionella Ising-modellerna: för den endimensionella modellen av Ising själv, för den tvådimensionella modellen av Onsager 1944 [1] .

Endimensionell Ising-modell

I fallet med en dimension kan Ising-modellen representeras som en kedja av interagerande snurr. En exakt lösning hittades för en sådan modell, men i det allmänna fallet har problemet ingen analytisk lösning.

Algoritm för implementering av Ising-modellen med Monte Carlo-metoden på en dator

  1. Skapa ett gitter av snurr (tvådimensionell array), snurren är godtyckligt orienterade.
  2. Välj slumpmässigt en av rutnätscellerna, radera värdet i den.
  3. Beräkna energierna för konfigurationerna när denna cell är fylld med snurr upp och ner (eller för alla möjliga tillstånd, om det finns fler än två av dem).
  4. Välj ett av alternativen för det "raderade" snurret slumpmässigt, med en sannolikhet proportionell mot , där  är energin i motsvarande tillstånd (eftersom alla termer som inte påverkar det givna snurret är desamma, faktiskt bara summor över grannar måste beräknas).
  5. Vi återkommer till punkt 2; efter att ett tillräckligt antal iterationer har utförts (att fastställa att detta är en separat och svår uppgift), stannar slingan.

Applikationer

1982 bevisade Hopfield Ising-modellens isomorfism och återkommande modeller av neurala nätverk [2] .

D-Wave Systems kvantdator är baserad på Ising-modellen. Datorns effektivitet väcker dock frågor, vilket var anledningen till ny forskning, vars syfte är att korrekt jämföra klassiska algoritmer och algoritmer för DWave-datorer. Det visade sig att det finns problem där en adiabatisk kvantdator verkligen inte är mer effektiv än en klassisk [3] .

Se även

Anteckningar

Kommentarer

Källor

  1. ↑ Gelfer Ya. M. , Termodynamikens och statistiska fysiks historia och metodik, 1981 , sid. 426.
  2. ↑ Khaykin S., 2006 , sid. 79.
  3. ↑ Katzgraber, Hamze, Andrist, 2014 , sid. 6.

Litteratur

Böcker

Vetenskapliga artiklar


 Avsnitt av statistisk fysik
Fysik av kondenserad materia