Gratis elektronmodell

Frielektronmodellen , även känd som Sommerfeld-modellen eller Drude-Sommerfeld-modellen, är en enkel kvantmodell av valenselektroners beteende i en metallatom , utvecklad av Arnold Sommerfeld baserat på den klassiska Drude-modellen , med hänsyn till Fermi. -Dirac kvantmekanisk statistik. Metallens elektroner behandlas i denna modell som en Fermi-gas .

Skillnaden mellan Sommerfeld-modellen och Drude-modellen är att inte alla valenselektroner i metallen deltar i kinetiska processer, utan endast de som har energi inom området för Fermi-energin , där är Boltzmann-konstanten , T är temperaturen. Denna begränsning härrör från Pauli-principen , som förbjuder elektroner från att ha samma kvanttal . Som en konsekvens, vid ändliga temperaturer, fylls lågenergitillstånden, vilket förhindrar elektronerna från att ändra sin energi eller rörelseriktning. $k_{B}T$ $k_B$

Trots sin enkelhet förklarar modellen många olika fenomen, inklusive:

Wiedemann-Franz lagen ;
temperaturberoende av värmekapacitet ;
elektrisk ledningsförmåga ;
termionisk emission ;
form av tätheten av tillstånd av elektroner;
intervallet av bindningsenergier.

Huvudidéer och antaganden

Om i Drude-modellen elektronerna i en metall var uppdelade i bundna och fria, så i kvantmekaniken, på grund av principen om identitet för partiklar, är elektronerna kollektiviserade och tillhör hela den fasta kroppen. Metallatomernas kärnor bildar ett periodiskt kristallgitter, i vilket, enligt Blochs teorem, elektronernas tillstånd kännetecknas av ett kvasi-momentum . Energispektrumet för metallelektroner är uppdelat i zoner, varav den viktigaste är det delvis fyllda ledningsbandet som bildas av valenselektroner.

Sommerfelds modell specificerar inte spridningslagen för elektroner i ledningsbandet, och antar bara att avvikelser från den paraboliska spridningslagen för fria partiklar är obetydliga. I den initiala approximationen försummar teorin elektron-elektroninteraktionen, och betraktar elektroner som en idealgas. Men för att förklara kinetiska processer, såsom elektrisk och termisk ledningsförmåga, spridning av elektroner på varandra, på vibrationer i kristallgittret och defekter, måste det tas med i beräkningen. När man överväger dessa fenomen är det viktigt att känna till partiklarnas energifördelning. Därför används Boltzmann-ekvationen för att beskriva elektronkinetiken . Det elektrostatiska fältet inuti ledaren anses vara svagt på grund av skärmningen.

Energi och vågfunktion för en fri elektron

Schrödinger-ekvationen för en fri elektron har formen [1] [2] [3]

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)

Vågfunktionen kan delas in i rumsliga och temporala delar. Lösningen på den tidsberoende ekvationen är $\Psi (\mathbf {r} ,t)$

{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t))

med energi

E=\hbar \omega

Lösningen för den rumsliga, tidsoberoende delen är

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r))))e^{i\mathbf {k} \ cdot \mathbf {r} }

med vågvektor . har volymen rymd där en elektron kan vara. Den kinetiska energin för en elektron ges av ekvationen: $\mathbf {k}$ ${\displaystyle \Omega _{r))$

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

Planvågslösningen för denna Schrödinger-ekvation är

\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r))))e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}

Fasta tillståndets fysik och den kondenserade materiens fysik handlar huvudsakligen om tidsoberoende lösning . $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$

Om man tar hänsyn till periodiciteten för kristallgittret enligt Bloch-satsen ändras denna funktion till

\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r))))\phi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf { k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}

var är en periodisk funktion. Energins beroende av vågvektorn förändras också. För att ta hänsyn till dessa modifieringar används olika Hamilton-modeller i stor utsträckning, till exempel: approximationen av nästan fria elektroner, den täta kopplingsapproximationen och så vidare. $\phi (\mathbf {r} )$

Fermi energi

Pauli-principen förbjuder elektroner från att ha vågfunktioner med samma kvanttal. För en elektron som beskrivs av en Bloch-våg är kvasi-momentum och spin kvanttal. Elektrongasens grundtillstånd motsvarar situationen när alla enelektrontillstånd med lägst energi fylls upp till en viss energi , som kallas Fermi-energin. För den paraboliska zonen ges energin som $E_F$

E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

sådan fyllning innebär att alla tillstånd med en vågvektor mindre än , , som kallas Fermi-vågsvektorn, är upptagna. Fermi-vektorn är $|\mathbf {k} |<k_{F}$ $K F}$

k_{F}=(3\pi ^{2}N_{e}/V)^{1/3}

där är det totala antalet elektroner i systemet, och V är den totala volymen. Sedan Fermi-energin $N_e$

E_{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N_{e}}{V}}\right)^ {2/3}

I approximationen av nästan fria elektroner bör valensmetallen ersättas med , där är det totala antalet metalljoner. $Z$ $N_e$ $NZ$ $N$

Energifördelning av elektroner

Vid temperaturer som inte är noll är metallens elektroniska delsystem inte i marktillståndet, men skillnaden förblir relativt liten om , vilket vanligtvis är fallet. Sannolikheten att ett enelektrontillstånd med energi E kommer att vara upptaget ges av Fermi-funktionen $k_{B}T\ll E_{F}$

f(E)={\frac {1}{e^{(E-E_{F})/k_{B}T}+1}}

var är Fermi-nivån. Vid absolut nolltemperatur , var är den kemiska potentialen . $E_{F}$ $E_{F}=\mu$ $\mu$

Teorins förutsägelser

Modellen låter dig korrekt beskriva ett antal egenskaper hos metaller och deras förändringar i samband med temperatur.

Värmekapacitet

Vid upphettning överförs energi till metallens elektroner. Elektroner vars energi är mindre än Fermi-energin kan dock inte ändra sitt tillstånd. För att göra detta skulle de behöva gå till ett tillstånd med högre energi, som redan med stor sannolikhet är upptaget av en annan elektron, och Pauli-principen förbjuder detta. Därför kan bara elektroner med energier nära Fermi-energin ta emot energi. Det finns få sådana elektroner, ungefär . Därför, vid höga temperaturer, är bidraget från det elektroniska delsystemet till metallens värmekapacitet litet jämfört med bidraget från kristallgittrets atomer. $N_{e}k_{B}T/E_{F}\ll N_{e}$

Situationen förändras vid låga temperaturer, lägre än Debye-temperaturen , när gallrets värmekapacitet är proportionell mot , medan värmekapaciteten i det elektroniska delsystemet är proportionell mot . Då dominerar elektronernas bidrag till värmekapaciteten, och metallens värmekapacitet, till skillnad från dielektrikum, är proportionell mot temperaturen. $T^{3}$ $T$

Elektrisk konduktivitet

Sommerfeld-modellen hjälpte till att övervinna problemet med Drude-modellen med värdet av den genomsnittliga fria vägen för elektroner. I Drude-modellen ges den elektriska strömtätheten av formeln

\mathbf {j} =n{\frac {e^{2}\tau }{m}}\mathbf {E}

var är elektrontätheten och är relaxationstiden. Om det är lika med antalet valenselektroner i ett fast ämne, måste avslappningstiden, och därmed elektronvägen, vara liten för att få verkliga värden på metallers ledningsförmåga, vilket motsäger den ideala gasteorin. I Sommerfeld-modellen , andelen elektroner med energier nära Fermi-energin. Det är proportionellt mot ett litet värde . Sedan är det relativt få elektroner som kan accelereras av ett elektriskt fält i metallen, men deras väglängd är stor. $n$ $\tau$ $n$ $n$ $k_{B}T/E_{F}$

Anteckningar

↑ Albert Messias. Kvantmekanik (neopr.) . - Dover Publications , 1999. - ISBN 0-486-40924-4 .
↑ Stephen Gasiorowicz . Kvantfysik (neopr.) . - Wiley & Sons , 1974. - ISBN 0-471-29281-8 .
↑ Eugene Merzbacher. Kvantmekanik (neopr.) . — 3:a. - Wiley & Sons , 2004. - ISBN 978-9971-5-1281-1 .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Britannica (online) Britannica (online)