Drud teori

Drudeteorin är en klassisk beskrivning av elektronernas rörelse i metaller . Denna teori föreslogs av den tyske fysikern Paul Drude 3 år efter upptäckten av elektronen som en partikel - år 1900 . Det kännetecknas av enkelhet och tydlighet, det förklarar väl Hall-effekten , specifik ledningsförmåga i lik- och växelström och värmeledningsförmåga i metaller, och är därför fortfarande relevant idag. Kan användas för flera typer av media inklusive rumsligt separerade lager som i Coulomb-drag .

Grundläggande antaganden

Elektronerna i en metall behandlas som en elektrongas som den kinetiska teorin om gaser kan tillämpas på . Man tror att elektroner, som gasatomer i kinetisk teori, är identiska solida sfärer som rör sig i raka linjer tills de kolliderar med varandra. Det antas att varaktigheten av en enstaka kollision är försumbar, och att inga andra krafter verkar mellan molekylerna, förutom de som uppstår vid kollisionsögonblicket. Eftersom en elektron är en negativt laddad partikel, för att uppfylla villkoret för elektrisk neutralitet i ett fast ämne, måste det också finnas partiklar av ett annat slag - positivt laddade. Drude föreslog att den kompenserande positiva laddningen tillhör mycket tyngre partiklar (joner), som han ansåg vara orörliga. Vid Drudes tid var det inte klart varför det finns fria elektroner och positivt laddade joner i metallen, och vilka dessa joner är. Endast kvantteorin om fasta ämnen kunde ge svar på dessa frågor. För många ämnen kan man dock helt enkelt anta att elektrongasen består av externa valenselektroner svagt bundna till kärnan, som ”frigörs” i metallen och får möjlighet att röra sig fritt genom metallen, medan atomkärnorna med elektronerna i de inre skalen (atomkärnorna) förblir oförändrade och spelar rollen som fixerade positiva joner i Drude-teorin.

Trots det faktum att densiteten hos gasen av ledningselektroner är cirka 1000 gånger större än densiteten för en klassisk gas vid normal temperatur och tryck, och trots närvaron av starka elektron-elektron- och elektron-jon-interaktioner i Drude-modellen, metoder kinetisk teori för neutrala förtärda gaser.

Grundläggande antaganden om Drude-teorin.

I intervallet mellan kollisioner tas inte hänsyn till en elektrons interaktion med andra elektroner och joner. Med andra ord antas det att i frånvaro av externa elektromagnetiska fält, rör sig varje elektron med konstant hastighet i en rät linje. Vidare tror man att i närvaro av yttre fält rör sig elektronen i enlighet med Newtons lagar; i detta fall beaktas endast dessa fälts inflytande, vilket försummar de komplexa ytterligare fälten som genereras av andra elektroner och joner. En approximation som försummar elektron-elektroninteraktionen mellan kollisioner är känd som den oberoende elektronapproximationen. Följaktligen kallas approximationen i vilken elektron-joninteraktionen försummas den fria elektronapproximationen.
I Drude-modellen, liksom i den kinetiska teorin, är kollisioner momentana händelser som plötsligt ändrar hastigheten på en elektron. Drude förknippade dem med det faktum att elektroner studsar av jonernas ogenomträngliga kärnor (och ansåg dem inte vara elektron-elektronkollisioner i analogi med den dominerande mekanismen för kollisioner i en vanlig gas).
Det antas att elektronen per tidsenhet upplever en kollision (det vill säga en plötslig hastighetsförändring) med en sannolikhet lika med . Detta betyder att för en elektron är sannolikheten att uppleva en kollision inom ett oändligt litet tidsintervall helt enkelt . Tiden kallas avslappningstiden, eller den fria vägtiden; det spelar en grundläggande roll i teorin om metallers ledningsförmåga. Det följer av detta antagande att en elektron som väljs slumpmässigt i det aktuella ögonblicket kommer att röra sig i genomsnitt under tiden före nästa kollision och redan har flyttats i genomsnitt under tiden sedan den föregående kollisionen. I de enklaste tillämpningarna anser Drude-modellerna att relaxationstiden inte beror på elektronens rumsliga position och dess hastighet. ${1 \over \tau }$ $dt$ ${dt\over\tau}$ $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau$
Det antas att elektroner kommer i termisk jämvikt med sin omgivning enbart på grund av kollisioner. Kollisioner tros bibehålla lokal termodynamisk jämvikt på ett extremt enkelt sätt: hastigheten för en elektron omedelbart efter kollisionen är inte relaterad till dess hastighet före kollisionen, utan riktas slumpmässigt, och dess värde motsvarar den temperatur som råder i området där kollisionen inträffade. Därför, ju varmare område där kollisionen inträffar, desto högre hastighet har elektronen efter kollisionen.

Drudes formel

Boltzmanns kinetiska ekvation i approximationen av relaxationstid leder till Drude-formeln för elektrongasens konduktivitet:

{\displaystyle \sigma ={\frac {ne_{0}^{2}\tau }{m^{*))))

$\sigma$ - elektrisk konduktivitet
$n$ är elektronkoncentrationen _
$e_{0}$ - elementär laddning
$\tau$ - momentumrelaxationstid ( den tid under vilken elektronen " glömmer " åt vilket håll den rörde sig)
$m^{{*}}$ är elektronens effektiva massa

Nedan följer härledningen av detta uttryck för det klassiska fallet utan att ta hänsyn till den verkliga spridningspotentialen. Denna formel är också tillämplig på elektron- och hålgas i halvledare (Formeln kan skrivas i en annan form för en degenererad elektron eller hålgas , där är diffusionskoefficienten för elektroner eller hål, och är tätheten för elektron- eller håltillstånd , och alla fysiska kvantiteter tas på Fermi-ytan ). Tillståndstätheter i en tvådimensionell ledare $\sigma =e_{0}^{2}Dg$ $D$ $g$

g=g_{s}g_{v}{\frac {m^{*}}{2\pi \hbar ^{2}}}

där g s är spindegenerationen, g v är daldegenerationen, m * är den effektiva massan och inte beror på energin. g s = 2 och daldegeneration för GaAs g v = 1.

För strömbärare med en parabolisk spridningslag (energi mäts från botten av ledningsbandet)

E_{F}={\frac {mv_{F}^{2}}{2}}

där ν F är bärarhastigheten på Fermi-nivån, och g = n / EF , kan man få Drude-uttrycket för den tvådimensionella elektrongasen

\sigma =e_{0}^{2}D{\frac {n}{E_{F}}}={\frac {2e_{0}^{2}nD}{m^{*}v_ {F}^{2}}}={\frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}{\frac {2D}{v_{F}^{2}}}={ \frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}\tau

där den sista ekvationen följer av elektrongasens degenerationstillstånd och definitionen av diffusionskoefficienten.

Vissa formler

acceleration av en elektron mellan två kollisioner från Newtons andra lag :

{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-{\frac {e_{0}}{m}}\cdot {\vec E}

genomsnittlig elektronhastighet :

{\overline {v}}=v_{d}=-{\frac {e_{0}\cdot E}{2m}}\cdot {\tau }

Det bör dock komma ihåg att den momentana hastigheten för en elektron i en metall kan vara stor och bestäms av Fermi-nivån .

strömtäthet :

{\vec j}=-n\cdot e_{0}\cdot {\vec v}_{d}

Ohms lag :

{\vec {j}}={\frac {n\cdot e_{0}^{2}\cdot \tau }{2m}}\cdot {\vec {E}}=\sigma \cdot { \vec {E}}

laddare mobilitet :

\mu ={\frac {|{\vec {v}}_{d}|}{|{\vec {E}}|}}={\frac {e_{0}\cdot \tau } {2m}}

termisk energi hos en elektron:

W_{{th}}=3{\frac {kT}{2}}

Tillämpningsgränser

Nackdelarna med denna teori inkluderar det faktum att denna teori är fenomenologisk och använder avslappningstiden, som måste erhållas från experiment eller en djupare teori. Användningen av Boltzmanns kinetiska ekvation i approximationen av relaxationstid begränsar också tillämpligheten av denna teori i området för det diskreta spektrumet av strömbärare, det vill säga den är endast tillämplig i den semiklassiska approximationen och i starka magnetfält (under bildandet av Landau-nivåer ) eller med ett litet antal lägen ( resistanskvantisering ) kan inte adekvat beskriva fysiska fenomen. Även i den makroskopiska manifestationen av kvanteffekter, såsom fenomenet supraledning . Även i svaga magnetfält kan Drude-teorin förlora sin tillämpbarhet på grund av fenomen som endast uppstår i kvantmekanik förknippad med interferens, till exempel svag lokalisering , Aharonov-Bohm-effekten , universella konduktansfluktuationer . Dessutom ligger även stark lokalisering (stark störning), perkolationsteori (låg bärartäthet), hoppledning och ballistisk transport utanför denna teoris omfattning.

Litteratur

N. Ashcroft, N. Mermin. Fasta tillståndets fysik: i två volymer / M.I. Kaganov. — M .: Mir, 1979.