Kinetisk Boltzmann-ekvation

Boltzmann-ekvationen ( kinetisk Boltzmann-ekvation ) är en ekvation uppkallad efter Ludwig Boltzmann , som först övervägde den, och som beskriver den statistiska fördelningen av partiklar i en gas eller vätska . Det är en av de viktigaste ekvationerna inom fysikalisk kinetik (ett fält av statistisk fysik som beskriver system som är långt ifrån termodynamisk jämvikt, till exempel i närvaro av temperaturgradienter och ett elektriskt fält ). Boltzmann-ekvationen används för att studera överföringen av värme och elektrisk laddningi vätskor och gaser, och transportegenskaper såsom elektrisk ledningsförmåga , Hall-effekt , viskositet och värmeledningsförmåga härleds från det . Ekvationen är tillämplig för försålda system, där interaktionstiden mellan partiklar är kort ( molekylär kaoshypotes ).

Formulering

Boltzmann- ekvationen beskriver tidsutvecklingen av fördelningsfunktionen i ett enpartikelfasrum , där , och är koordinaten , momentum och tid , respektive . Fördelningen är definierad så att $f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)$ $\mathbf {x}$ ${\mathbf {p}}$ $t$

f({\mathbf {x}},{\mathbf {p}},t)\,d^{3}x\,d^{3}p

är proportionell mot antalet partiklar i fasrummet vid tidpunkten . Boltzmanns ekvation $d^{3}x\,d^{3}p$ $t$

{\frac {\partial f}{\partial t))+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} ))\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m ))+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =\left.{\frac {\partial f}{\partial t))\right|_ {\mathrm {coll} }.

Här är fältet för krafter som verkar på partiklar i en vätska eller gas, och är massan av partiklarna. Termen på höger sida av ekvationen läggs till för att ta hänsyn till kollisioner mellan partiklar och kallas kollisionsintegralen . Om det är noll kolliderar inte partiklarna alls. Detta fall kallas ofta för en-partikel Liouville-ekvationen . Om kraftfältet ersätts av ett lämpligt självkonsistent fält beroende på fördelningsfunktionen får vi Vlasov-ekvationen som beskriver dynamiken hos laddade plasmapartiklar i ett självkonsistent fält. Den klassiska Boltzmann-ekvationen används i plasmafysik , såväl som i halvledar- och metallfysik (för att beskriva kinetiska fenomen, det vill säga laddning eller värmeöverföring, i en elektronvätska ). $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ $m$ $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ $f$

I Hamiltonsk mekanik skrivs Boltzmann-ekvationen ofta i en mer allmän form

{\hat {{\mathbf {L}}}}[f]={\mathbf {C}}[f]

var är Liouville-operatorn som beskriver utvecklingen av volymen av fasutrymmet och är kollisionsoperatorn. Operatörens icke-relativistiska form är följande $\mathbf{L}$ ${\mathbf {C}}$ $\mathbf{L}$

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t))+{\frac {\mathbf {p} }{m} }\cdot \nabla _{\mathbf {x} }+\mathbf {F} \cdot \nabla _{\mathbf {p} },

och i den allmänna relativitetsteorin

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=\summa _{\alpha }p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\ alpha ))}-\summa _{\alpha \beta \gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{ \partial p^{\alpha }}},

var är Christoffel-symbolen . $\Gamma$

Kollisionsintegral

Kollisioner mellan partiklar leder till en förändring i deras hastighet. Om anger sannolikheten för partikelspridning från ett tillstånd med hastighet till ett tillstånd med hastighet , så skrivs kollisionsintegralen för klassiska partiklar som $W({\mathbf {v)),{\mathbf {v))^{\prime })d^{3}v^{\prime }dt$ ${\mathbf {v))$ ${\mathbf {v}}^{\prime }$

\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{{coll}}=\int _{({\mathbf {v}}^{\prime }}}[f(t ,{\mathbf {r)),{\mathbf {v}}^{\prime })W({\mathbf {v}}^{\prime },{\mathbf {v}})-f(t, {\mathbf {r)),{\mathbf {v}})W({\mathbf {v}},{\mathbf {v}}^{\prime })]d^{3}v^{\prime }

När det gäller partikelstatistikens kvantnatur kompliceras detta uttryck av omöjligheten att två partiklar är i ett tillstånd med samma kvanttal, och därför är det nödvändigt att ta hänsyn till omöjligheten att sprida sig till ockuperade tillstånd.

Uppskattning av avkopplingstid

Boltzmann-ekvationen är en komplex integro-differential partiell differentialekvation . Dessutom beror kollisionsintegralen på det specifika systemet, på typen av interaktion mellan partiklar och andra faktorer. Att hitta gemensamma egenskaper hos icke-jämviktsprocesser är inte en lätt uppgift. Det är emellertid känt att i tillståndet av termodynamisk jämvikt är kollisionsintegralen lika med noll. Faktum är att i ett jämviktstillstånd i ett homogent system i frånvaro av externa fält är alla derivator på vänster sida av Boltzmann-ekvationen lika med noll, så kollisionsintegralen måste också vara lika med noll. För små avvikelser från jämvikt kan fördelningsfunktionen representeras som

{\displaystyle f=f_{0}+f_{1))

var är jämviktsfördelningsfunktionen, som är känd från termodynamiken och endast beror på partikelhastigheter, och är en liten avvikelse. $f_{0}({\mathbf {v}})$ $f_{1}$

I det här fallet kan man utöka kollisionsintegralen i en Taylor-serie med avseende på funktionen och skriva den i formen: $f_{1}$

\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }=-{\frac {f_{1}}{\tau }}=-{ \frac {f-f_{0}}{\tau }}

var är avkopplingstiden . En sådan approximation kallas approximation av relaxationstid eller Bhatnagar-Gross-Krook kollisionsintegralmodellen . Relaxationstiden som ingår i Boltzmann-ekvationen beror på partikelhastigheten och följaktligen på energin. Relaxationstiden kan beräknas för ett specifikt system med specifika partikelspridningsprocesser. $\tau$

Boltzmann-ekvationen i approximationen av relaxationstid skrivs som

{\frac {\partial f}{\partial t))+{\mathbf {v))\cdot \nabla f+{\frac ({\mathbf {F))}{m))\cdot \nabla _{{ {\mathbf {v}}}}f=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}

Härledning av Boltzmann-ekvationen

Den mikroskopiska härledningen av Boltzmann-ekvationen från första principer (baserat på den exakta Liouville-ekvationen för alla partiklar i mediet) utförs genom att avsluta kedjan av Bogolyubov-ekvationer på nivån för parkorrelationsfunktionen för klassisk [1] och kvant [2] ] system. Redovisning i kedjan av kinetiska ekvationer för korrelationsfunktioner av högre ordning gör att du kan hitta korrigeringar till Boltzmann-ekvationen [3] .

Se även

Anteckningar

↑ Bogolyubov N. N. Kinetic Equations (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1946. - T. 16 (8) . - S. 691-702 .
↑ Bogolyubov N. N. , Gurov K. P. Kinetiska ekvationer i kvantmekanik (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1947. - T. 17 (7) . - S. 614-628 .
↑ Shelest A. V. Bogolyubovs metod i den dynamiska teorin om kinetiska ekvationer. — M.: Nauka, 1990. 159 sid. ISBN 5-02-014030-9 .

Länkar

5 böcker om Boltzmann och hans ekvation Arkiverade 24 februari 2013 på Wayback Machine

Litteratur

Cherchinyani K. Teori och tillämpningar av Boltzmann-ekvationen. — M .: Mir, 1978. — 495 sid.
ed. Liebovitz JL, Montroll EW Icke-jämviktsfenomen: Boltzmann-ekvationen. — M .: Mir, 1986. — 272 sid.
Carleman T. Matematiska problem av kinetisk teori om gaser. - M. : IL, 1960. - 120 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk stor kines Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	NKC : ph548971