Integro-differentialekvationer
Integro-differentialekvationer är en klass av ekvationer där den okända funktionen finns både under integraltecknet och under differential- eller derivattecknet .
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y,{P}_{{m}}[\ varphi (y)])dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899699df789491968f4d4219273141a6e54426f3)
var
kallas den yttre differentialoperatorn, och är den interna differentialoperatören är kärnan i integro-differentialekvationen![{L}_{{n}}[\varphi (x)]={\frac {{d}^{{n}}\varphi (x)}{{dx}^{{n))))+{ a}_{{1}}(x){\frac {{d}^{{n-1}}\varphi (x)}{{dx}^{{n-1}}}}+... +{a}_{{n}}(x)\varphi (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0081689dacab72f823a1c2a7b11f4047c89638c8)
![{P}_{{m}}[\varphi (y)]={\frac {{d}^{{m}}\varphi (y)}{{dy}^{{m}}}}+{ b}_{{1}}(y){\frac {{d}^{{m-1}}\varphi (y)}{{dy}^{{m-1}}}}+... +{b}_{{m}}(y)\varphi (y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f26bc52cb5ab78ba6c8fd9a5d3a28ccade779d0)
![K(x,y,{P}_{{m}}[\varphi (y)])](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f365531dab09700aa187c84e9cf8e5aeccf6c009)
Vissa integro-differentialekvationer kan reduceras till differentialekvationer i ett Banach-rum , men det finns evolutionära integro-differentialekvationer (som förekommer i elasticitetsteori och modeller av biologiska processer) som innehåller integration över tid för vilket detta är svårt att göra.
Klassificering av integro-differentialekvationer
Linjära integralekvationer
Linjära integro-differentialekvationer är ekvationer där den interna differentialoperatorn anger linjärt:
Fredholms ekvationer![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619dba498117392773d3f33ce153f55e9ca888ed)
En linjär integro-differential Fredholm ekvation är en ekvation med konstanta gränser för integration
Fredholms ekvationer av 1:a slagetEn integro-differential Fredholm ekvation av 1: a sorten är en ekvation av formen:
Fredholms ekvationer av 2:a slaget![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cfdd30bb7ccd0c7751e5715d25ebaa0ad4e66a)
En integro-differential Fredholm ekvation av det andra slaget är en ekvation av formen:
Volterras ekvationerEn linjär integro-differential Volterra-ekvation är en ekvation med en variabel övre gräns för integration
Volterra-ekvationer av första slagetVolterras integrodifferentialekvation av den första typen är en ekvation av formen:
Volterras ekvationer av 2:a slaget![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718ddb4933ad61041215d9ff67124c7dfe90fc86)
Volterras integrodifferentialekvation av det andra slaget är en ekvation av formen:
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42c0e0b2290de836116667d80224c63fdb3be86)
Icke-linjära integralekvationer
En olinjär Fredholm-ekvation är en integro-differentialekvation där den interna differentialoperatorn anger olinjärt:
Metoder för att lösa integro-differentialekvationer
Se även
Litteratur
- GA Shishkin, Linjära integro-differential Fredholm-ekvationer. Lärobok för specialkursen och specialseminarium. Buryat State Universitys förlag 2007.
| Matematisk fysik | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Typer av ekvationer | |||||||||||
| Typer av ekvationer | |||||||||||
| Gränsförhållanden | |||||||||||
| Ekvationer av matematisk fysik |
| ||||||||||
| Lösningsmetoder |
| ||||||||||
| Studie av ekvationer | |||||||||||
| Relaterade ämnen | |||||||||||