Liouvilles fasvolymkonserveringssats

Liouvilles teorem , uppkallad efter den franske matematikern Joseph Liouville , är en nyckelsats inom matematisk fysik , statistisk fysik och Hamiltonsk mekanik . Teoremet hävdar bevarandet i tid av fasvolymen, eller sannolikhetstätheten i fasrummet.

Formulering

Fördelningsfunktionen för ett Hamilton-system är konstant längs vilken bana som helst i fasrymden .

Liouvilles ekvation

Liouville-ekvationen beskriver tidsutvecklingen av fördelningsfunktionen ( sannolikhetstäthet ) för ett Hamilton-system i -dimensionellt fasrum ( är antalet partiklar i systemet). Betrakta ett Hamilton-system med koordinater och konjugerade momenta , där . Då bestämmer fördelningen i fasutrymmet sannolikheten att systemet kommer att befinna sig i volymelementet av sitt fasutrymme. $6N$ $N$ $q_{i}$ $pi}$ $i=1,\dots ,d,$ $d=3N$ $\rho (p_{i},q_{i})$ $\rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$ $\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$

Liouville-ekvationen beskriver utvecklingen i tid enligt regeln för att hitta den totala derivatan av en funktion , med hänsyn till flödets inkompressibilitet i fasrummet: $\rho (p_{i},q_{i};t)$ $t$

{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\summa _{i=1}^ {d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\mathrm {d} t))+{\ frac {\partial \rho }{\partial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right)=0.

Tidsderivator av faskoordinater för Hamiltonska system beskrivs enligt Hamiltons ekvationer :

{\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\ partiell p_{i}}},

{\dot {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{ \partial q_{i}}}.

Ett enkelt bevis på satsen är observationen att evolutionen bestäms av kontinuitetsekvationen : $\rho$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\ rho \operatörsnamn {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operatörsnamn {grad} \rho =0,

var är rörelsehastigheten för den studerade volymen av fasutrymmet: $\mathbf{v}$

\nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\summa _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q))_{ i})}{\partial q_{i))}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p))_{i})}{\partial p_{i))}\right)

och observationen att skillnaden mellan detta uttryck och Liouville-ekvationen endast bestäms av termen som beskriver divergensen, nämligen dess frånvaro, vilket betyder frånvaron av källor eller sänkor för sannolikhetstätheten:

\rho \operatörsnamn {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\dot {q))_{i} }{\partial q_{i))}+{\frac {\partial {\dot {p))_{i)){\partial p_{i))}\right)=\rho \sum _{i= 1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i))}-{\frac {\partial ^{2}H }{\partial p_{i}\,\partial q_{i}}}\right)=0,

var är Hamiltonian och Hamiltons ekvationer användes . Detta kan representeras som rörelsen genom fasutrymmet för "vätskeflödet" av systemets punkter. Satsen betyder att Lagrangederivatan eller den väsentliga derivatan av densiteten är lika med noll. Detta följer av kontinuitetsekvationen , eftersom hastighetsfältet i fasrummet är divergenslöst, vilket i sin tur följer av Hamiltons ekvationer för konservativa system. $H$ $d\rho /dt$ $({\dot {p)),{\dot {q)))$

Geometrisk tolkning

Betrakta banan för en liten fläck (en uppsättning punkter) i fasrummet. När man rör sig längs en uppsättning banor sträcks fläcken i en koordinat, säg - - men komprimeras i en annan koordinat så att produkten förblir konstant. Fläckarean (fasvolymen) ändras inte. $pi}$ $q_i$ ${\displaystyle \Delta p_{i}\,\Delta q_{i))$

Mer exakt bevaras fasvolymen över tidsförskjutningar. Om en $\Gamma$

\int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,

och är uppsättningen av punkter i fasutrymmet till vilken uppsättningen kan utvecklas vid tidpunkten , alltså $\Gamma (t)$ $\Gamma$ $t$

\int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C

för alla tider . Volymen av fasrummet i ett Hamiltonskt system bevaras eftersom tidsevolutionen i Hamiltonsk mekanik är en kanonisk transformation , och alla kanoniska transformationer har en enhet Jacobian . $t$

Genom den symboliska formen

Låt vara ett symplektiskt grenrör och vara en smidig funktion. Låt det finnas en symplektisk gradient , det vill säga ett vektorfält som uppfyller relationen $(M,\omega )$ $H\colon M\to \mathbb {R}$ $V$ $H$

dH(X)=\omega (V,X)

för alla vektorfält . Sedan $X$

{\mathcal {L}}_{V}\omega =0,

där betecknar Lie-derivatan . $\mathcal{L}$

Av detta uttalande följer Liouville-satsen. Det följer faktiskt av ovanstående identitet att

{\mathcal {L}}_{V}\omega ^{\wedge n}=0,

och om är -dimensionell, är volymformen på . $M$ $2n$ $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$

Fysisk tolkning

Det förväntade totala antalet partiklar är integralen över hela fasutrymmet för distributionsfunktionen:

N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)

(normaliseringsfaktor utelämnad). I det enklaste fallet, när en partikel rör sig i den euklidiska rymden i ett fält av potentiella krafter med koordinater och momenta , kan Liouvilles sats skrivas som $\mathbf {F}$ $\mathbf {x}$ ${\mathbf {p}}$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{ m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,

var är hastigheten. Inom plasmafysik kallas detta uttryck för Vlasov-ekvationen eller den kollisionsfria Boltzmann-ekvationen och används för att beskriva ett stort antal kollisionsfria partiklar som rör sig i ett självständigt kraftfält . $\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} ))$ $\mathbf {F}$

I klassisk statistisk mekanik är antalet partiklar stort, i storleksordningen Avogadro-talet . I det stationära fallet kan man hitta densiteten av mikrotillstånd som är tillgängliga i en given statistisk ensemble . För stationära tillstånd är fördelningsfunktionen lika med någon funktion av Hamiltonian , till exempel i Maxwell-Boltzmann-fördelningen , där är temperaturen , är Boltzmann-konstanten . $N$ $\partial\rho/\partial t = 0$ $\rho$ $H$ ${\displaystyle \rho \sim e^{-H/kT))$ $T$ $k$

Notering genom Poisson-parentesen

Med hjälp av Poisson-parentesen , som i kanoniska koordinater är $(q^{i},p_{j})$

\{A,B\}=\summa _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i))}{\frac {\ partiell B}{\partial p_{i))}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i))}{\frac {\partial B}{\partial q^{i))}\right ),

Liouville-ekvationen för Hamiltonska system tar formen

{\frac {\partial \rho }{\partial t))=-\{\rho ,H\}.

Notering med Liouville-operatorn

Använder Liouville-operatören

i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i))}{\frac {\partial }{\partial q_{i))}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}{\frac {\partial }{\partial p_{i))}\right]

ekvationen för Hamiltonska system tar formen

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+i{\hat {L))\rho =0.

Anteckningar

Kanonisk kvantisering ger en kvantmekanisk version av satsen.

Denna procedur, som ofta används för att erhålla kvantanaloger av klassiska system, innebär att man beskriver det klassiska systemet med hjälp av Hamiltonsk mekanik. De klassiska variablerna omtolkas sedan, nämligen som kvantoperatorer, medan Poisson-parenteserna ersätts med kommutatorer . I det här fallet får vi ekvationen

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],

där ρ är densitetsmatrisen . Denna ekvation kallas von Neumann-ekvationen och beskriver utvecklingen av kvanttillstånden i Hamiltonska system.

Liouville-ekvationen är sann för jämviktssystem och icke-jämviktssystem. Detta är den grundläggande ekvationen för statistisk mekanik utan jämvikt.

Antagandet om fasflödets inkompressibilitet, det vill säga uppfyllandet av villkoret

\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\ mathrm {d} t))+{\frac {\partial }{\partial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right) =0,

är betydande. I det allmänna fallet med ett godtyckligt dynamiskt system

{\dot {q}}_{i}=Q_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t),\quad {\dot {p}}_{i}=P_ {i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)

ekvationen för tidsutvecklingen av partiklarnas fördelningsdensitet i fasutrymmet erhålls från balansekvationen $\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$

\rho (\mathbf {p} ',\mathbf {q} ',t')\,d\Lambda '=\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)\,d \Lambda ,

t'=t+dt,\quad p_{i}'=p_{i}+P_{i}\,dt,\quad q_{i}'=q_{i}+Q_{i}\, dt,\quad d\Lambda '=d\Lambda \left[1+dt\summa _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial Q_{i)){\partial q_{i ))}+{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{i}}}\right)\right]

(den sista relationen är skalningen av fasvolymelementet med en oändligt liten förskjutning längs fasbanan). Den slutliga ekvationen har formen

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho Q_{i})}{ \partial q_{i))}+{\frac {\partial (\rho P_{i})}{\partial p_{i))}\right)=0

(se även Fokker-Plancks ekvation ) och i fallet sammanfaller med Liouvilles ekvation. ${\displaystyle Q_{i}=\partial H/\partial p_{i},\ P_{i}=-\partial H/\partial q_{i))$

Se även

Poincaré-Cartan integral