Icke-associativ ring

En icke-associativ ring ( inte nödvändigtvis en associativ ring ) är en allmän algebraisk struktur, en generalisering av begreppet en ring , definieras på ett sätt som liknar en ring, men associativiteten för multiplikation krävs inte. Ibland förstås "ring" som denna generalisering av det, men de flesta algebrakällor inkluderar i definitionen av termen "ring" villkoret att multiplikation är associativ .

Definition

En icke-associativ ring är en uppsättning på vilken två binära operationer ges : och (kallas addition och multiplikation), med följande egenskaper som gäller för alla : $R$ $+$ $\ gånger$ $a,b,c\in R$

$a + b = b + a$ — kommutativitet av addition;
$a + (b + c) = (a + b) + c$ - associativitet av addition;
$\exists 0 \in R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right)$ - förekomsten av ett neutralt element med avseende på addition;
$\forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)$ - förekomsten av det motsatta elementet med avseende på addition;
$\left\{\begin{matris} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{ matris}\höger.$ - distributionsförmåga .

Med andra ord, en icke-associativ ring är en universell algebra så att algebra är en Abelisk grupp och operationen är vänster och höger distributiv med avseende på . $\langle R,+,\times ,0\rangle$ $\langle R,+\rangle$ $\ gånger$ $+$

En ring där multiplikationsoperationen har alternativhetsegenskapen kallas alternativ .

Egenskaper

Även om ringen har en enhet fungerar inte det vanliga konceptet med ett inverterbart element : det omvända kan finnas på ena sidan och saknas på den andra, kan finnas på båda sidor men vara olika, eller det kan finnas olika ensidiga inverserar till ett element. Förekomsten av inverser garanterar inte heller att elementet inte delar noll och inte bevaras när det multipliceras.

Precis som vanliga ringaren icke-associativ ring kan betraktas som en icke-associativ algebra över ringen av heltal.

Exempel

Algebror (inte nödvändigtvis associativa) över ett fält eller över en ring är icke-associativa ringar.

Icke-associativa ringar är Lie algebror och Jordan algebror (med hänsyn till definitionen som algebror över ringen av heltal).

Halvfältet är en divisionsstruktur där elementnoll bildar en multiplikationskvasigrupp och är också en icke-associativ ring.

Länkar

L. A. Bokut. Icke-associativa ringar och algebror // Mathematical Encyclopedia . - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985. (ryska)