Triangelojämlikhet

Triangelojämlikheten i geometri , funktionsanalys och relaterade discipliner är en av avståndets intuitiva egenskaper. Den säger att längden på vilken sida som helst i en triangel alltid är mindre än summan av längderna på dess andra två sidor. Triangelolikheten ingår som ett axiom i definitionen av ett metriskt utrymme , en norm , etc.; också är det ofta ett teorem i olika teorier.

Euklidisk geometri

Olikhet

AC\leqslant AB+BC,

går i valfri triangel . Dessutom uppnås jämlikhet endast när triangeln är degenererad , och punkten ligger strikt mellan och . $\triangel ABC$ $AC=AB+BC$ $B$ $A$ $C$

Euklids element bevisar triangelolikheten enligt följande. Först bevisas ett teorem att den yttre vinkeln för en triangel är större än den inre vinkeln som inte är intill den. Av den härleds en sats att en större inre vinkel ligger mittemot den större sidan av triangeln. Vidare, genom motsägelse, bevisas satsen att den största sidan ligger mitt emot den största inre vinkeln i en triangel. Och från detta teorem härleds triangelolikheten.

Normerat utrymme

Låta vara ett normerat vektorrum , där är en godtycklig mängd och är en norm definierad på . Sedan, per definition av det senare, är det sant: $(X,\|\cdot \|)$ $X$ $\|\cdot \|$ $X$

\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.

Hilbert space

I Hilbert-rummet är triangelojämlikheten en konsekvens av Cauchy–Bunyakovsky-ojämlikheten .

Metriskt utrymme

Låta vara ett metriskt utrymme , där är en godtycklig mängd och är ett mått definierat på . Då per definition av det sista $(X,\rho)$ $X$ $\rho$ $X$

\rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\i X.

Variationer och generaliseringar

$d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$ Stark triangelojämlikhet

Omvänd triangelolikhet

En konsekvens av triangelolikheten i normerade och metriska utrymmen är följande ojämlikheter:

${\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|xy\|,\quad x,y\in X;$
$|\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.$

Triangelolikheten för en trihedrisk vinkel

Varje plan vinkel i en konvex trihedrisk vinkel är mindre än summan av dess andra två plana vinklar.

Godtyckligt antal poäng

Låt oss beteckna avståndet mellan punkterna och . Då gäller följande ojämlikhet: . Den erhålls genom att successivt tillämpa triangelolikheten för tre punkter: [1] $\rho (x_{i},x_{j})$ $x_{i}$ $x_{j}$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+...+ \rho (x_{m-1},x_{m})$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{m})\leqslant \rho ( x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+\rho (x_{3},x_{m})\leqslant ...$

Se även

Anteckningar

↑ Shilov G. E. Matematisk analys. Specialkurs. — M.: Fizmatlit, 1961. — S. 28