Nilradikal

Nilradikalen i en kommutativ ring  är den ideala som består av alla dess nilpotenta element .

Nilradikalen är verkligen ett ideal, eftersom summan av två nilpotenta element är nilpotent (med Newtons binomialformel ), liksom produkten av ett nilpotent och ett godtyckligt element. Nollradikalen kan också karakteriseras som skärningspunkten mellan ringens alla främsta ideal .

Om  är en godtycklig kommutativ ring, så innehåller kvotringen , genom sin nilradikal, inte nilpotenta element.

Varje maximalideal är enkelt, så Jacobson-radikalen  – skärningspunkten mellan alla maximalideal – innehåller en nollradikal. I fallet med en artinisk ring sammanfaller de helt enkelt, med nilradikalen beskrivs som ett maximalt nilpotent ideal . I allmänhet, om en nilradikal genereras ändligt , är den nilpotent.

Icke-kommutativa generaliseringar

I det icke-kommutativa fallet finns det tre sätt att generalisera begreppet en nilradikal. Den nedre nilradikalen i en icke-kommutativ ring definieras som skärningspunkten mellan alla primära ideal. En övre nilradikal  är som ett ideal genererat av alla nilpotenta ideal. Levitsky-radikalen är mellan dem i storlek och definieras som det maximala lokalt nilpotenta idealet . Om ringen är Noetherian är alla tre definitionerna desamma.

Litteratur

• Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
• Eisenbud, David , "Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry", Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0