Matrisnorm

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 november 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

En matrisnorm är en norm i ett linjärt utrymme av matriser, vanligtvis relaterat på något sätt till motsvarande vektornorm (konsekvent eller underordnad ).

Definition

Låt K vara markfältet (vanligtvis K = R eller K = C ) och vara det linjära rummet för alla matriser med m rader och n kolumner som består av element av K . En norm ges på utrymmet av matriser om varje matris är associerad med ett icke-negativt reellt tal , kallat dess norm, så att $K^{{m\ gånger n}}$ $A\in K^{m\times n}$ $\|A\|$

$\|A\|>0$ , om , och , om . $A\neq 0$ $\|A\|=0$ $A=0$
${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\quad A,B\in K^{m\times n))$ .
${\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|,\quad \alpha \i K,\quad A\in K^{m\times n))$ [1] .

När det gäller kvadratiska matriser (det vill säga m = n ), kan matriserna multipliceras utan att lämna utrymmet, och därför uppfyller normerna i dessa utrymmen vanligtvis också den submultiplikativa egenskapen :

$\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$ för alla matriser A och B i . $K^{{n\ gånger n}}$

Submultiplikativitet kan också utföras för normerna för icke-kvadratmatriser, men definieras för flera nödvändiga storlekar samtidigt. Nämligen, om A är en ℓ × m matris och B är en m × n matris , så är A B en ℓ × n matris .

Operatörsnormer

En viktig klass av matrisnormer är operatornormer , även kallade underordnade eller inducerade normer . Operatornormen är unikt uppbyggd av två normer definierade i och , baserat på det faktum att vilken m × n matris som helst representeras av en linjär operator från till . Specifikt, $K^n$ $K^{m}$ $K^n$ $K^{m}$

{\begin{aligned}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\in K^{n},\ \|x\|=1\}\\&=\ sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}

[2]

Under villkoret av en konsekvent specificering av normer på vektorrum, är en sådan norm submultiplikativ (se ovan ).

Exempel på operatörsnormer

Matrisnorm underordnad vektornorm . $\|A\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\summa _{i=1}^{m}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\summa _{i=1}^{n}|x_{i}|$
Matrisnorm underordnad vektornorm . $\|A\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|$
Spektralnorm som är föremål för vektornormen . $\|A\|_{2}=\sup \limits _{\|x\|_{2}=1}\|Ax\|_{2}=\sup \limits _{(x, x)=1}{\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {\lambda _{max}(A^{*}A)))$ ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2))))$

Spektralnormens egenskaper:

Spektralnormen för en operator är lika med det maximala singularvärdet för denna operator.
Spektralnormen för en normaloperator är lika med det absoluta värdet av det maximala moduloegenvärdet för denna operator.
Spektralnormen ändras inte när en matris multipliceras med en ortogonal ( enhetlig ) matris.

Icke-operatörsmatrisnormer

Det finns matrisnormer som inte är operatörsnormer. Begreppet icke-operatörsnormer för matriser introducerades av Yu. I. Lyubich [3] och studerades av G. R. Belitsky .

Ett exempel på en icke-operatörsnorm

Tänk till exempel på två olika operatornormer och till exempel rad- och kolumnnormerna. Låt oss skapa en ny norm . Den nya normen har ringegenskapen , bevarar identiteten och är inte operatör [4] . ${\displaystyle \|A\|_{1))$ ${\displaystyle \|A\|_{2))$ ${\displaystyle \|A\|=\max {(\|A\|_{1},\|A\|_{2)))))$ $\|AB\|\leqslant \|A\|\|B\|$ $\|I\|=1$

Exempel på normer

Norm L p,q

Låta vara en vektor av matriskolumner. Per definition är normen lika med summan av de euklidiska normerna för matriskolumnerna: $(a_{1},\ldots,a_{n})$ $A.$ $L_{2,1}$

\Vert A\Vert _{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\Vert a_{j}\Vert _{2}=\summa _{j=1}^{ n}\left(\summa _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}

Normen kan generaliseras till normen $L_{2,1}$ $L_{p,q},\;p,q\geqslant 1:$

\Vert A\Vert _{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij} |^{p}\right)^{q/p}\right)^{1/q}

Vector -norm

sid

Du kan tänka på en matris som en storleksvektor och använda standardvektornormerna. Till exempel erhålls vektorn p -norm från normen vid : $m\ gånger n$ $mn$ ${\displaystyle L_{p,q))$ $p=q$

\|A\|_{p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\summa _{i=1}^{m}\summa _{j =1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}

Denna norm skiljer sig från den inducerade p - normen och från Schattens p -norm (se nedan), även om samma notation används. $\|A\|_{p}=\sup \limits _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p)){\|x\|_{p))}$

Frobenius-normen , eller euklidisk norm (för euklidiskt rum ) är ett specialfall av p - normen för p = 2 :. $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2 }}}$

Frobeniusnormen är lätt att beräkna (jämfört med t.ex. spektralnormen). Den har följande egenskaper:

Konsistens : , eftersom på grund av Cauchy-Bunyakovsky ojämlikheten ${\displaystyle \|Ax\|_{2}\leq \|A\|_{F}\|x\|_{2))$

\|Ax\|_{2}^{2}=\summa _{i=1}^{m}\left|\summa _{j=1}^{n}a_{ij}x_{ j}\right|^{2}\leq \sum _{i=1}^{m}\left(\summa _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\summa _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\right)=\summa _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\|A\ |_{F}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|x\|_{2}^{2}.

Submultiplikativitet : , sedan . ${\displaystyle \|AB\|_{F}\leq \|A\|_{F}\|B\|_{F))$ $\|AB\|_{F}^{2}=\summa _{i,j}\left|\summa _{k}a_{ik}b_{kj}\right|^{2}\ leq \sum _{i,j}\left(\sum _{k}|a_{ik}||b_{kj}|\right)^{2}\leq \sum _{i,j}\left( \sum _{k}|a_{ik}|^{2}\summa _{k}|b_{kj}|^{2}\right)=\summa _{i,k}|a_{ik}| ^{2}\summa _{k,j}|b_{kj}|^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|B\|_{F}^{2}$
$\|A\|_{F}^{2}=\mathop {\rm {tr)) A^{*}A=\mathop {\rm {tr)) AA^{*}$ , där är spåret av matrisen , är den hermitiska konjugerade matrisen av . $\mathop {\rm {tr)) A$ $A$ $A^{*}$
$\|A\|_{F}^{2}=\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}+\dots +\rho _{n}^{ 2}$ , var är matrisens singularvärden . ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n))$ $A$
${\displaystyle \|A\|_{F}\geq \|A\|_{2))$ , var är spektralnormen. ${\displaystyle \|\cdot \|_{2))$
${\displaystyle \|A\|_{F))$ ändras inte när en matris multipliceras till vänster eller till höger med ortogonala ( enhetliga ) matriser [5] . $A$

Maximal modul

Maximimodulnormen är ett annat specialfall av p -normen för p = ∞ .

\|A\|_{{{\text{max}}}}=\max\{|a_{{ij}}|\}.

Norm Shatten

Schatten-normer uppstår när -normen appliceras på en vektor med singulära värden i en matris. Om vi betecknar med det -th singularvärdet för en matris av storlek , så definieras Schatten -normen som $sid$ $\sigma _{i}(A)$ $i$ $A$ $m\ gånger n$ $sid$

\|A\|_{p}=\left(\summa _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\ höger)^{1/p}.

Schatten-normerna betecknas på samma sätt som de inducerade och vektor -normerna, men sammanfaller inte med dem. $sid$

För alla är Schatten-normen submultiplikativ och enhetligt invariant, det vill säga för alla matriser och för alla enhetsmatriser och . $sid$ ${\displaystyle ||AB||_{p}\leq ||A||_{p}||B||_{p))$ ${\displaystyle \|A\|_{p}=\|UAV\|_{p))$ $A$ $B$ $U$ $V$

Vid , sammanfaller Schatten-normen med Frobenius-normen, vid , med spektralnormen och vid , med kärnnormen (även känd som spårnormen och Ki Fan-normen ), som definieras som $p=2$ $p=\infty$ $p=1$

\|A\|_{1}=\summa _{i=1}^{\min\{m,n\))\sigma _{i}(A)={\mbox{tr)) \left({\sqrt {A^{*}A}}\höger).

Kärnnormen är det konvexa skrovet av rangfunktionen på uppsättningen matriser med enhetsspektralnorm , så den används ofta i optimeringsproblem för att hitta lågrankade matriser [6] .

Överensstämmelse mellan matris- och vektornormer

Matrisnormen på kallas överensstämmande med normerna på och på om: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\ gånger n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Ax\|_{b}\leq \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

för någon . Genom konstruktion överensstämmer operatörsnormen med den ursprungliga vektornormen. $A\in K^{{m\times n}},x\in K^{n}$

Exempel på konsekventa men inte underordnade matrisnormer:

Den euklidiska normen överensstämmer med vektornormen [5] . $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\summa _{j=1}^{m}a_{ij}^{2)) }$ ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2))))$
Normen överensstämmer med vektornormen [7] . $\|A\|=\summa _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\summa _{i=1}^{n}|x_{i}|$

Likvärdighet mellan normer

Alla normer i utrymmet är ekvivalenta, det vill säga, för alla två normer och och för vilken matris som helst, är den dubbla olikheten sann: $K^{{m\ gånger n}}$ ${\displaystyle \|.\|_{\alpha ))$ ${\displaystyle \|.\|_{\beta ))$ $A\in K^{m\times n}$

C_{1}\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq C_{2}\|A\|_{\alpha },

där konstanterna och inte beror på matrisen . $C_{1}$ $C_{2}$ $A$

För följande ojämlikheter är sanna: $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$

${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {n))\|A\|_{2))$ ,
$\|A\|_{\text{max}}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\text{max}}$ ,
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A \|_{\infty ))$ ,
${\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\ |_{1}$ ,

där , och är operatörsnormer [8] . ${\displaystyle \|A\|_{1))$ ${\displaystyle \|A\|_{2))$ ${\displaystyle \|A\|_{\infty ))$

Applikation

Matrisnormer används ofta i analysen av linjära algebraberäkningsmetoder . Till exempel kan ett program för att lösa system med linjära algebraiska ekvationer ge ett felaktigt resultat om koefficientmatrisen är dåligt konditionerad ("nästan degenererad "). För att kvantitativt karakterisera närheten till degeneration måste man kunna mäta avståndet i matrisrummet. Denna möjlighet tillhandahålls av matrisnormer [9] .

Se även

Anteckningar

↑ Gantmakher, 1988 , sid. 410.
↑ Prasolov, 1996 , sid. 210.
↑ Lyubich Yu. I. Om operatörsnormer för matriser // Uspekhi Mat . - 1963. - N. 18. Nummer. 4(112) - S. 161-164. — URL: http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v18/i4/p161
↑ Belitsky, 1984 , sid. 99.
↑ 1 2 Ilyin, Kim, 1998 , sid. 311.
↑ Fazel, M. , Hindi, H. , Boyd, S. P. En rangminimeringsheuristik med tillämpning på approximation av minimiordersystem // Proceedings of the 2001 American Control Conference. - 2001. - Vol. 6 . - P. 4734-4739 . - doi : 10.1109/ACC.2001.945730 .
↑ Bellman, 1969 , sid. 196.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , sid. 63.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , sid. 61.

Litteratur

Ilyin V. A. , Kim G. D. Linear Algebra and Analytic Geometry. - M . : Moscows förlag. un-ta, 1998. - 320 sid. — ISBN 5-211-03814-2 .
Gantmakher F. R. Matrix Theory. — M .: Nauka, 1988.
Bellman R. Introduktion till matristeori. - M . : Nauka, 1969.
Prasolov VV Problem och satser för linjär algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 sid. - ISBN 5-02-014727-3 .
Golub J., Van Lone Ch . Matrisberäkningar: Per. från engelska - M . : Mir, 1999. - 548 sid. — ISBN 5-03-002406-9 .
Belitsky G. R. , Lyubich Yu. I. Matrisnormer och deras tillämpningar. - Kiev: Naukova Dumka, 1984. - 160 sid.

Länkar

exponenta.ru. Pedagogisk matematisk portal . Tillträdesdatum: 15 november 2016. (obestämd)
Matematikens värld. Matrisnormen . Hämtad: 3 december 2016. (obestämd)