Omvänd teorem

En invers sats eller en invers sats till en given sats är en sats där villkoret för den ursprungliga satsen (direktsatsen) sätts av slutsatsen, och slutsatsen är villkoret. [ett]

Det omvända till det omvända satsen är den ursprungliga (direkta) satsen. Giltigheten av båda ömsesidigt inversa satserna innebär att uppfyllandet av villkoren för någon av dem är nödvändigt och tillräckligt för slutsatsens giltighet. [ett]

Varje teorem kan uttryckas i form av en implikation , där premissen är satsens tillstånd och konsekvensen är satsens slutsats. Då är satsen skriven i formen omvänd till den [2] . $A\högerpil B$ $A$ $B$ $B\Rightarrow A$

En mer allmän definition av inverssatsen används ofta: om det är en direktsats, så kallas inte bara satsen för invers , utan även satserna , [3] . $(A\land C)\Högerpil B$ $B\Rightarrow (A\land C)$ $(B\land A)\Högerpil C$ $(B\land C)\Högerpil A$

Om villkoret och/eller slutsatsen av satsen är komplexa bedömningar, tillåter den omvända satsen en uppsättning formuleringar som inte är likvärdiga med varandra. Till exempel, om villkoret för satsen är , och slutsatsen är : , så finns det fem former för den omvända satsen: [4] $A$ $Y\Rightarrow Z$ $A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$

$(Y\Rightarrow Z)\Rightarrow A$
$(A\Rightarrow Z)\Rightarrow Y$
$Z\Rightarrow (A\And Y)$
$A\Rightarrow (Z\Rightarrow Y)$
$Y\Rightarrow (Z\Rightarrow A)$

Generellt sett kanske den omvända satsen inte är sann även om den direkta satsen är sann. Således är satsen "vertikala vinklar är lika" (med andra ord: "om vinklarna är vertikala, så är de lika") känd för att vara sann. Men påståendet mitt emot det "om vinklarna är lika, så är de vertikala", generellt sett, är inte sant.

Även om det omvända är sant, så kan dess bevis vara mycket svårare än beviset för det direkta. Till exempel bevisades fyra hörnsatsen 1912 och dess inversa först 1998.

Egenskaper

Den direkta satsen är ekvivalent med den motsatta satsen : $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B))\Rightarrow {\overline {A)))$
Den omvända satsen är ekvivalent med den motsatta räta linjen: [5] $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B)))$

Exempel

Pythagoras sats kan formuleras på följande sätt:

Om i en triangel med sidor av längd , och vinkeln motsatt sidan är rätt, då . $a$ $b$ $c$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Inversen av denna sats förekommer i Euklids element (bok I, påstående 48), och kan anges på följande sätt:

Om i en triangel med sidor av längd , och , då vinkeln motsatt till sidan är rätt. $a$ $b$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $c$

Abels sats och Abel-Taubers sats
Satser om hörn i en subdermal triangel
Direkt och invers gränssats
I en annan mening: Shannons satser för en allmän källa

Se även

Motsatt sats

Anteckningar

↑ 1 2 Omvänd teorem // Mathematical Encyclopedic Dictionary / ed. Prokhorova Yu. V. - M., Soviet Encyclopedia , 1988. - sid. 423
↑ Edelman, 1975 , sid. 32.
↑ Gindikin, 1972 , sid. 19.
↑ Gradstein, 1965 , sid. 92.
↑ Edelman, 1975 , sid. 33.

Litteratur

Edelman S.L. Matematisk logik. - M . : Högre skola, 1975. - 176 sid.
Gindikin S.G. Algebra av logik i uppgifter. - M. : Nauka, 1972. - 288 sid.
Gradshtein I.S. Direkta och inversa satser. Element i logikens algebra. - M . : Nauka, 1965. - 127 sid.