Volym (geometri)

Volym är en additiv funktion av en uppsättning ( mått ) som kännetecknar kapaciteten för en region av utrymme som den upptar. Ursprungligen uppstod den och tillämpades utan en strikt definition i förhållande till kropparna i det tredimensionella euklidiska rummet . De första exakta definitionerna gavs av Peano ( 1887 ) och Jordan ( 1892 ). Därefter generaliserades konceptet av Lebesgue till en bredare klass av uppsättningar.

Tillvägagångssätt till definitionen

För att bestämma volymen finns det flera signifikant olika tillvägagångssätt som kompletterar varandra och är konsekventa i slutresultatet på "bra set". Vanligtvis förstås begreppet volym som Jordanmåttet , men ibland Lebesguemåttet . För Riemannska grenrör introduceras begreppet volym på samma sätt som begreppet ytarea .

Begreppet volym medger naturliga generaliseringar till begreppet -dimensionell volym i -dimensionellt rum, även till fallet med riemannska och pseudo-riemannska rum med godtycklig dimension. $n$ $n$

Volymer av de enklaste kropparna

Figur	Formel	Notation
Kub	$c^{3}$	$c$ - kubkant
Prisma	$Sh$	$S$ - basarea, - prismats höjd $h$
Cylinder	$\pi r^{2}h$	$r$ är radien , är cylinderns höjd $h$
Boll	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	$r$ - radie
Ellipsoid	${\frac {4}{3}}\pi abc$	$a,\;b,\;c$ - huvudaxlar
Pyramid	${\frac {1}{3}}Ah$	$A$ - area av basen, - höjd på pyramiden $h$
Kon	${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$	$r$ - basradie, - konhöjd $h$

Arkimedes kunde konstatera att en sfär och koner med en gemensam spets, inskriven i en cylinder, är relaterade enligt följande:

два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3.

Arkimedes bad att få slå ut en boll inskriven i en cylinder på hans grav.

Allmän integralformel

Volymen av en kropp i tredimensionellt utrymme beräknas som en trippelintegral : $D$

V=\iiiint \limits _{D}1\dxdydz

(i kartesiska koordinater )

V=\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz

(i cylindriska koordinater )

V=\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi

(i sfäriska koordinater )

Se även

Anteckningar

Litteratur

Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F., Grundläggande matematiska formler. Handbok / Ed. Bogdanova Yu. S. Ed. andra, reviderade och ytterligare Minsk, "Den högsta skolan", 1988
Merzon G.A., Yashchenko I.V. Längd, area, volym. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Tsypkin A.G. Handbok i matematik för gymnasieskolor. - 4:e upplagan, Rev. och tillägg.-M.: Nauka. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1988. - 432 sid.