Weyl begränsning

Den skalära begränsningen (även känd som "Weyl-begränsningen") är en funktion som, för varje finit fältförlängning L /k och vilken algebraisk variant X över L , ger en annan sort Res L / k X definierad över k . Den skalära begränsningen är användbar för att reducera frågor om sorter över stora fält till frågor om mer komplexa sorter över mindre fält.

Definition

Låt L/k vara en finit fältförlängning och X ett grenrör definierat över L . Funktionen från k - scheman op till mängder definieras av uttrycket $\mathrm {Res} _{L/k}X$

\mathrm {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)

(Särskilt k -rationella punkter av en sort är L -rationella punkter av X .) Variationen som denna funktion representerar kallas en skalär begränsning och är unik upp till isomorfism om den existerar. $\mathrm {Res} _{L/k}X$

Ur synvinkeln av uppsättningsskivor är begränsningen av skalärer helt enkelt differentialen längs morfismen Spec L Spec k och är rätt konjugerad till fiberprodukten av scheman , så definitionen ovan kan omformuleras mer generellt. I synnerhet kan fältförlängningar ersättas av vilken som helst ringad topoi- morfism , och antagandet om X kan lättas upp, till exempel till stackar. Detta resulterar i lösare kontroll över beteendet hos den skalära begränsningen. $\till$

Egenskaper

För varje finita fältförlängning tar den skalära begränsningen en kvasiprojektiv variant till en kvasiprojektiv variant. Dimensionen på det resulterande grenröret multipliceras med graden av förlängning.

Under de rätta förhållandena (till exempel platt, korrekt, ändligt presenterad), ger varje morfism av algebraiska utrymmen en skalär restriktionsfunktion som mappar algebraiska stackar till algebraiska stackar, och bevarar sådana egenskaper som Artin-stacken, Deligne -Mumford stack, och tänkbarhet. $T\to S$

Exempel och applikationer

1) Låt L vara en ändlig förlängning av fältet k i grad s. Då (Spec L ) = Spec( k ) och är ett s-dimensionellt affint utrymme över Speck . ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k))$ ${\displaystyle Res_{L/k}\mathbb {A} ^{1))$ $\mathbb {A} ^{s}$

2) Om X är en affin L -manifold definierad av uttrycket

X={\text{Spec}}L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})

vi kan skriva som Spec , där y i,j ( ) är nya variabler, och g l,r ( ) är ett polynom som erhålls genom att välja en k - bas för tillägget L och sätta och . $\mathrm {Res} _{L/k}X$ $k[y_{i,j}]/(g_{l,r})$ $1\leq i\leq n,1\leq j\leq s$ $1\leq l\leq m,1\leq r\leq s$ $y_{i,j}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{s))$ ${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dots +y_{i,s}e_{s))$ ${\displaystyle f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dots +g_{t,s}e_{s))$

3) Begränsning av skalärer över en finit fältförlängning översätter gruppscheman till gruppscheman.

Särskilt:

4) Thor

{\displaystyle \mathbb {S} :=\mathrm {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m))

där G m betyder den multiplikativa gruppen, spelar en väsentlig roll i Hodge-teorin, eftersom Tannakie-kategorin verkliga Hodge-strukturer är ekvivalent med kategorin representationer S . Verkliga punkter har en Lie- gruppstruktur som är isomorf till . Se Mumford–Tate group . $\mathbb {C} ^{\times }$

5) Weil-begränsningen för en (kommutativ) gruppgren är återigen en (kommutativ) gruppgren av dimension om L är separerbar över k . Alexander Momot tillämpade Weils restriktioner på kommutativa gruppvarieteter med och för att få nya resultat i teorin om transcendens, som byggde på en ökning av algebraisk dimension. $\mathrm {Res} _{L/k}\mathbb {G}$ $\mathbb {G}$ $[L:k]\dim \mathbb {G}$ $k=\mathbb {R}$ $L=\mathbb {C}$

6) Begränsning av skalärer på abeliska sorter (t.ex. elliptiska kurvor ) ger abelska varianter om L är separerbar över k . James Meehl använde detta för att reducera Birch-Swinnerton-Dyer-förmodan över Abeliska sorter över alla nummerfält till samma gissning över rationella tal.

7) I elliptisk kryptografi använder Weil-nedstigningen Weyl-begränsningen för att transformera det diskreta logaritmproblemet på en elliptisk kurva över en finit fältförlängning L/K till det diskreta logaritmproblemet på Jacobi-grenröret en hyperbolisk kurva över ett basfält K, vilket potentiellt är lättare att lösa på grund av mindre fältstorlek K.

Weil-konstruktioner kontra Greenberg-transformationer

Den skalära begränsningen liknar Greenberg-transformen, men generaliserar den inte, eftersom Witt-vektorringen på en kommutativ algebra A i allmänhet inte är en A -algebra.

Anteckningar

Litteratur

Andrew Weil. Adeles och algebraiska grupper. - Birkhäuser, 1982. - T. 23. - (Progress in Math). Anteckningar till föreläsningar 1959-1960.
- Weil A. ADELIE OCH ALGEBRAISKA GRUPPER // Matematik. - 1964. - T. 8 , nr. 4 . - S. 3-74 .
Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud . Neron modeller. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1990. - T. 21. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzbiete). — ISBN 3-540-50587-3 . — ISBN 0-387-50587-3 .
James S. Milne. Om aritmetiken för abelska sorter // Invent. Matematik. - 1972. - Utgåva. 17 . - S. 177-190 .
Martin Olsson. Hom stackar och begränsning av skalärer // Duke Math J .. - 2006. - Vol. 134 . — S. 139–164 .
Björn Poonen. Rationella poänger om sorter . - American Mathematical Society, 2017. - V. 186. - (Graduate Studies in Mathematics). - ISBN 978-1-4704-3773-2 .
Alexander Lech Momot. Täthet av rationella punkter på kommutativa gruppvarianter och liten transcendensgrad . — 2010.