Witt vektor

Inom matematiken är Witt-vektorn en oändlig sekvens av element i en kommutativ ring .

Ernst Witt ( tyska: Ernst Witt ) visade hur man lägger en ringstruktur på en uppsättning Witt-vektorer så att ringen av Witt-vektorer över ett ändligt ordningsfält p är ringen av p -adiska heltal .

E. Witt föreslog dessa vektorer för första gången 1937 i samband med beskrivningen av oförgrenade fältförlängningar av p -adiska tal, såväl som (Witts primära motivation) cykliska förlängningar av fält med karakteristiska p (se Witt 1937). Senare användes Witt-vektorer i studien av algebraiska varianter över ett område med positiva egenskaper, såväl som i teorin om kommutativa algebraiska grupper och i teorin om formella grupper.

Motivation

Alla p -adiska heltal kan skrivas unikt som en potensserie , där de vanligtvis tas från mängden . Denna uppsättning är inte den enda möjliga representationen, och Teichmüller föreslog en annan uppsättning bestående av 0 och rötter av en. Med andra ord, p -rötter $a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+...$ $a_{i}$ ${0,1,2,...,p-1}$ $p-1$

x^{p}-x=0

Denna Teichmüller-representation kan identifieras med elementen i ett ändligt fält av ordning p (med hjälp av rester modulo p), så att denna representation upprättar en överensstämmelse mellan en oändlig sekvens av fältelement och en uppsättning p -adiska tal. $F_{p}$ $F_{p}$

Hur kan man uttryckligen beskriva resultatet av addition och multiplikation av två oändliga sekvenser av element som är Teichmüller-representationer av p -adiska heltal? Detta problem löstes av Witt med hjälp av Witt-vektorer. $F_{p}$

Konstruktion av Witt-ringar

Låt oss ta ett primtal p . Witt-vektorn över en kommutativ ring R är en sekvens av element av R . Vi definierar Witt-polynom enligt följande: ${X_{0},X_{1},X_{2},...}$ $W_i$

W_{0}=X_{0}

{\displaystyle W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1))

W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}

i allmänhet

W_{n}=\sum _{i}p^{i}X_{i}^{p^{ni}}.

Witt visade att det finns en unik funktionell konstruktion av en kommutativ ring (inte en R - algebra!) W(R) för någon kommutativ ring R så att elementen i W(R) är Witt-vektorer och så att varje Witt-polynom är ett homomorfism av ringen W(R ) till R. Dessutom betyder "funktionell" att konstruktionen av ringen W(R) för valfri ring R också ges en konstruktion av en ringhomomorfism för varje ringhomomorfism så att W som ett resultat är en funktion från kategorin kommutativa ringar in i sig själv. $W_{n}$ $W\left(R\right)\to W\left(S\right)$ $R\to S$

Ringen W(R) kallas ringen av Witt-vektorer över R . Summan och produkten av två element av W(R) ges av några polynom med heltalskoefficienter oberoende av R .

De första få polynomen som ger summan och produkten av Witt-vektorerna kan representeras explicit. Till exempel,

( X 0 , X 1 , ...) + ( Y 0 , Y 1 , ...) = ( X 0 + Y 0 , X 1 + Y 1 + ( X 0 p + Y 0 p - ( X 0 + Y 0 ) p )/ p , …) ( X 0 , X 1 , ...) × ( Y 0 , Y 1 ,...) = ( X 0 Y 0 , X 0 p Y 1 + Y 0 p X 1 + p X 1 Y 1 , …)

Exempel

Witt-ringen i varje kommutativ ring R där p är inverterbar är helt enkelt isomorf (till produkten av ett ändligt antal kopior av R ). Faktum är att Witt-polynom alltid ger en homomorfism från ringen av Witt-vektorer till , och om p är reversibel är denna homomorfism en isomorfism. $R^{N}$ $R^{N}$
Witt-ringen över ett ändligt ordningsfält p är ringen av p - adiska heltal.
Witt-ringen i ett fält med ändlig ordning är en oförgrenad förlängning av grad n av ringen av p -adiska heltal. $p^{n}$

Universal Witt vektorer

Witt-polynom för olika primtal p är ett specialfall av universella Witt-polynom som kan användas för att konstruera universella Witt-ringar (inte beroende av ett primtal p ).

Låt oss definiera de universella Witt-polynomen för formlerna $W_{n}$ $n\geq 1$

W_{1}=X_{1}

W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}

{\displaystyle W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3))

W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}

i allmänhet

W_{n}=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}.

Man kan använda dessa polynom för att definiera en ring av universella Witt-polynom över en kommutativ ring R på exakt samma sätt som ovan (så de universella Witt-polynomen är homomorfismer in i ringen R ).

Ringdiagram

Mappningen från en kommutativ ring R till en Witt-vektorring över R (för ett fixerat primtal p ) är en funktion från en kommutativ ring till en kommutativ ring, som också är representabel , så att den kan ses som ett ringschema , som kallas ett Witt-schema över Spec( Z ). Witts schema kan kanoniskt identifieras med spektrumet av ringen av symmetriska funktioner .

På liknande sätt motsvarar ringar av trunkerade Witt-vektorer och ringar av universella Witt-vektorer ringscheman som kallas trunkerade Witt-scheman och universella Witt-scheman .

Dessutom översätts en funktor från en kommutativ ring R till en mängd som representeras av ett affint mellanrum och en ringstruktur till ett ringschema . Det följer av strukturen hos de trunkerade Witt-vektorerna att deras associerade ringschema är ett schema med en unik ringstruktur, så att morfismen som ges av Witt-polynomen är en schemamorfism. $R^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n))$ $R^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n))$ ${\underline {\mathcal {O}}}^{n}$ $\mathbb {W} _{n}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n))$ $\mathbb {W} _{n}\rightarrow {\underline {\mathcal {O}}}^{n}$

Kommutativa unipotenta algebraiska grupper

Över ett algebraiskt stängt fält med karakteristik 0 är varje unipotent abelisk ansluten algebraisk grupp isomorf till en produkt av kopior av en additiv grupp . $G_a$

Analogin för fält med karakteristisk p är felaktig - de trunkerade Witt-schemana är ett motexempel (vi översätter dem till en algebraisk grupp genom att ta bort multiplikationsstrukturen och endast använda additionsstrukturen.)

Se även

Formell grupp (matematik)
Utställare Artin - Hasse

Länkar

Hazewinkel, Michiel (2009), Witt vectors. I., Handbok i algebra. Vol. 6 , Amsterdam: Elsevier/Nord-Holland, sid. 319–472, ISBN 978-0-444-53257-2
Mumford, David, Lectures on Curves on an Algebraic Surface , vol. 59, Annals of Mathematics Studies, Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6
Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields , vol. 67, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5 , avsnitt II.6
Serre, Jean-Pierre (1988), Algebraic groups and class fields , vol. 117, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96648-9
Witt, Ernst (1937), Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p n . Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p n , Journal für Reine und Angewandte Mathematik T. 176: 126–140 , < http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?IDDOC=504725 > Arkiverad kopia daterad 26 mars 2015 på Wayback Machine
Greenberg, MJ (1969), Lectures on Forms in Many Variables, New York och Amsterdam, Benjamin, MR 241358, ASIN: B0006BX17M
Leng S., Algebra, övers. från English, M., 1968;
Mumford, D., Lectures on Curves on an Algebraic Surface , övers. från English, M., 1968;
Serre J.P., Algebraiska grupper och klassfält, övers. från French, Moskva, 1968;
Demazure M., Gabriel P., Groupes algebriques, t. 1. P.-Amst., 1970;
Dieudonne, J. Math. Ann., 1957, Bd 134, S. 114-33.