Ensidig gräns
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från
versionen som granskades den 25 april 2019; verifiering kräver
1 redigering .
Ensidig gräns i matematisk analys - gränsen för en numerisk funktion , vilket innebär "tillvägagångssätt" till gränspunkten på ena sidan. Sådana gränser kallas för den vänstra gränsen (eller den vänstra gränsen ) respektive den högra gränsen ( den högra gränsen ).
Definitioner
Låt en numerisk funktion ges på någon numerisk uppsättning och talet vara gränspunkten för definitionsdomänen . Det finns olika definitioner för de ensidiga gränserna för en funktion vid en punkt , men de är alla likvärdiga.
Heines ensidiga gräns
- Ett tal kallas högergränsen ( högergräns , högergräns ) för en funktion vid en punkt om för någon sekvens av punkter större än , som i sig konvergerar till , den motsvarande sekvensen av värden för funktionen konvergerar till .
- Ett tal kallas den vänstra gränsen ( vänstergräns , vänstergräns ) för en funktion vid en punkt om för någon sekvens av punkter mindre än , som i sig konvergerar till , den motsvarande sekvensen av värden för funktionen konvergerar till . [ett]
- Ett tal kallas en högergräns ( högergräns , högergräns ) för en funktion vid en punkt om för något positivt tal ett positivt tal som motsvarar det hittas så att olikheten är sann för alla punkter från intervallet .
- Ett tal kallas en vänstergräns ( vänstergräns , vänstergräns ) för en funktion vid en punkt om ett positivt tal som motsvarar det hittas för något positivt tal, så att olikheten är sann för alla punkter från intervallet . [ett]
Ensidig gräns som en gräns längs ett filter
Den ensidiga gränsen är ett specialfall av det allmänna konceptet med gränsen för en funktion längs ett filter . Låt och sedan de inställda systemen
och
är filter . Gränserna längs dessa filter är desamma som motsvarande ensidiga gränser:
Notation
- Den högra gränsen betecknas vanligtvis med någon av följande metoder:
- På samma sätt, för vänsterhandsgränserna, accepteras följande notationer:
- Följande förkortningar används också:
- och för rätt gräns;
- och för vänstergränsen.
- När man ska minska notationen, istället för och , brukar de skriva och resp.
Egenskaper
Exempel
- Identitet numerisk funktion
- Domän:
- Höger gräns:
- Vänster gräns:
- Höger och vänster gränser är desamma, så det finns den vanliga gränsen:
- Styckvis definierad funktion
- Domän:
- Höger gräns:
- Vänster gräns:
- Höger och vänster gränser är olika, så det finns ingen vanlig gräns vid en punkt
- sgn(x) funktion
- Domän:
- Höger gräns:
- Vänster gräns:
- Höger och vänster gränser är olika, så det finns ingen vanlig gräns vid en punkt
Se även
Anteckningar
- ↑ 1 2 3 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 3. Theory of Limits // Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105 - 121. - 672 sid. — ISBN 5-482-00445-7 .