Ortogonala funktioner

Två, i det allmänna fallet, kallas komplext värderade funktioner och , som tillhör Lebesgue-utrymmet , där är en mätbar mängd , ortogonala om $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $L_2(E)$ $E$

\int\limits_{E}\!\varphi_1(t)\overline{\varphi_2(t)}\,dt = 0

För vektorfunktioner introduceras den skalära produkten av funktioner under en integral, och integration över ett segment ersätts av integration över en region med motsvarande dimension. En användbar generalisering av begreppet ortogonalitet är ortogonalitet med en viss vikt. Är ortogonala med vikten av funktionen och om $w$ $f$ $g$

\ \int\limits_\Omega\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega = 0

var är den skalära produkten av vektorer och är värdena för vektorvärderade funktioner och vid punkten , är punkten för regionen och är elementet i dess volym ( mått ). Denna formel är skriven på det mest allmänna sättet jämfört med alla ovanstående. När det gäller riktiga skalärer bör den skalära produkten ersättas med den vanliga; i fallet med komplexa skalärer : . $\langle f(x), g(x)\rangle$ $f(x)$ $g(x)$ $f$ $g$ $x$ $x$ $\Omega$ $d\Omega$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $\langle f(x), g(x)\rangle = \bar f(x) g(x)$

Kravet på att funktioner hör till rymden beror på att för rum inte bildar ett Hilbert-rum , och därför är det omöjligt att införa en skalär produkt på dem, och med det ortogonalitet. $L_2(E)$ $p \neq 2$ $L_p(E)$

Exempel

$\sin x$ och är ortogonala funktioner på intervallet $\cos x$ $[0,\pi ]$
$\sin (2\pi knx$ ) och , där är ett heltal, är ortogonala på intervallet $\cos (2\pi knx)$ $n$ $[0, T], T = 1/k$
$x$ och ortogonal på intervallet $ett$ $[-1,1]$

Ortogonala funktioner

Exempel

Se även