Bells paradox

Bells paradox är en av de välkända relativistiska paradoxerna i den speciella relativitetsteorin . I den mest kända versionen av John Stuart Bell själv [1] uppstår paradoxen när man överväger ett tankeexperiment som inkluderar två rymdskepp som accelererar i samma riktning och förbinder dem med en sträng sträckt till gränsen (det ena skeppet flyger strikt före det andra , det vill säga accelerationen riktas längs strängen). Om fartygen börjar accelerera synkront, i referensramen som följer med fartygen, kommer avståndet mellan dem att börja öka och strängen kommer att gå sönder . Å andra sidan, i referensramen där fartygen först var i vila, ökar inte avståndet mellan dem, och därför bör strängen inte gå sönder . Vilken synvinkel är korrekt? Enligt relativitetsteorin är den första brytningen av en sträng.

Kronologiskt sett finns det första omnämnandet av paradoxen i arbetet av E. Dewan och M. Beran 1959 [2] , som ansåg resultatet av ett sådant tankeexperiment som en bekräftelse på verkligheten av den relativistiska sammandragningen av kroppar .

En tillräckligt detaljerad förklaring av effekten av ett kabelbrott som förbinder synkront accelererande raketer gavs av den sovjetiske fysikern D. V. Skobeltsyn i sin bok "Tvillingparadox i relativitetsteorin". Boken skrevs 1959 och publicerades 1966 [3] .

Bells tankeexperiment

I Bells version är två rymdskepp, initialt i vila i förhållande till någon tröghetsreferensram (ISR) , sammankopplade med en sträng som sträcks till det yttersta. Vid nolltid enligt klockan för motsvarande ISO börjar båda fartygen accelerera med sin egen konstanta acceleration , mätt med accelerometrar placerade ombord på varje fartyg . Frågan är, kommer strängen att gå sönder? $g$

I enlighet med åsikten från Dewan och Beran, såväl som Bell, i referensramen där fartygen från början låg i vila, kommer avståndet mellan dem att förbli oförändrat, men längden på strängen kommer att uppleva en relativistisk sammandragning, så att någon gång kommer strängen att gå sönder. I Bells formulering representeras detta enligt följande [4] :

Tre små rymdraketer, A, B och C, driver fritt i ett område av rymden på avstånd från resten av materien, utan rotation och utan relativ rörelse, med B och C på samma avstånd från A (Fig. 1).

Vid mottagande av en signal från A startas motorerna B och C och raketerna börjar accelerera mjukt (fig. 2). Låt raketerna B och C vara identiska och ha identiska accelerationsprogram. Då (enligt observatören vid A) kommer de att ha samma hastighet vid varje tidpunkt och därmed förbli förskjutna i förhållande till varandra med samma avstånd.

Antag att B och C redan från början är förbundna med en tunn tråd (fig. 3). Och om tråden först är tillräckligt lång för att täcka det erforderliga avståndet, kommer den att bli kortare när raketerna accelererar, eftersom den genomgår Fitzgerald-sammandragning och så småningom går sönder. Det bör gå sönder när det artificiella förhindrandet av naturlig kompression i tillräckligt hög hastighet leder till en oacceptabel spänning.

Är det sant? Detta gamla problem var en gång föremål för diskussion i matsalen på CERN. En respekterad experimentfysiker vägrade acceptera att tråden skulle brista och avfärdade min tro på motsatsen som mitt eget missförstånd av speciell relativitet. Vi bestämde oss för att ansöka till CERN:s teoriavdelning för skiljedom, och gjorde en (inte särskilt systematisk) opinionsundersökning i denna fråga. Det fanns en klar konsensus om att tråden inte skulle gå sönder! Naturligtvis kommer många som ger detta felaktiga svar till en början efter en viss fundering till det rätta. De brukar känna sig tvungna att se hur det hela ser ut för en betraktare B eller C. De upptäcker att B till exempel ser C längre och längre bak, så att en given trådbit inte längre kan täcka avståndet mellan dem. Först efter att ha gjort detta, och kanske med en kvarstående känsla av obehag, kommer dessa människor så småningom fram till en slutsats som är ganska trivial ur A:s synvinkel, med tanke på Fitzgerald-kontraktionen. Mitt intryck är att de med en mer klassisk utbildning, som kan en del av Larmors, Lorentz och Poincarés och Einsteins resonemang, har en starkare och mer pålitlig intuition.

Mot denna lösning av problemet framfördes invändningar, som sedan i sin tur utsattes för kritik. Till exempel föreslog Paul Nawrocki att strängen inte skulle gå sönder [ 5 ] , medan Edmond Dewan försvarade sin ursprungliga åsikt i ett svarspapper [ 6 ] . Bell skrev att han mötte den återhållsamma skepsisen från "en välkänd experimentator" som svar på hans utläggning av paradoxen. För att lösa tvisten hölls ett informellt möte med CERN :s teoretiska avdelning . Bell konstaterar att avdelningens "tydliga konsensus" var att strängen inte får gå sönder. Bell tillägger vidare: "Självklart, många människor som fick fel svar först fick rätt svar genom ytterligare resonemang" [1] . Senare, 2004 , skrev Matsuda och Kinoshita [7] att en artikel som de publicerade i en japansk tidskrift innehållande en oberoende återupptäckt version av paradoxen kritiserades hårt. Författarna citerar dock inte kritiska verk, utan uppger bara att de var skrivna på japanska.

Analys baserad på den icke-relativistiska rörelseekvationen

I ytterligare analys kommer vi att betrakta rymdskepp som punktkroppar och endast överväga längden på strängen. Analysen avser det fall då fartygen stänger av sina motorer efter en viss tid . Galileiska koordinater kommer att användas i alla tröghetsreferensramar . $T$

I enlighet med presentationen av Dewan och Beran, såväl som Bell, i referensramen för "sjösättningsplatser" (i förhållande till vilka fartygen vilade före start av motorerna och som vi kommer att kalla CO ), avståndet mellan fartygen måste förbli konstant " per definition ". $S$ $L$ $A$ $B$

Detta kan illustreras enligt följande. Förskjutningen av fartyg i förhållande till deras initiala positioner - längs CO- axeln - som funktion av tiden kan skrivas som . Denna funktion, generellt sett, beror på motorernas dragkraftsfunktion, men det är viktigt att den är densamma för båda rymdfarkosterna. Därför kommer positionen för varje fartyg som en funktion av tiden att vara: $X$ $S$ $med)$

x_{A}=a_{0}+f(t),\quad x_{B}=b_{0}+f(t),

var

med)

för är lika med 0 och är kontinuerlig för alla värden på ;

t<0

t

x_{A}

- position ( -koordinat) för fartyget ;

x

A

x_B

- position ( -koordinat) för fartyget ;

x

B

a_{0}

är fartygets position vid ;

A

t=0

b_{0}

är fartygets position vid .

B

t=0

Av detta, vilket är ett konstant värde som inte är beroende av tid. Detta argument är giltigt för alla typer av synkron rörelse. ${\displaystyle x_{A}-x_{B}=a_{0}-b_{0))$

Kunskap om detaljvyn är alltså inte nödvändig för vidare analys. Observera dock att formen för konstant korrekt acceleration är välkänd (se hyperbolisk rörelse ). $med)$ $med)$

Om man tittar på rum-tidsdiagrammet (till höger) kan man se att rymdskepp kommer att sluta accelerera i händelser och , som är samtidiga i CO . Det är också uppenbart att dessa händelser inte är samtidiga i den CO som följer med fartygen. Detta är ett exempel på relativiteten av simultanitet . $A'$ $B'$ $S$

Från det föregående är det tydligt att längden på linjen är lika med längden , vilket i sin tur sammanfaller med det initiala avståndet mellan fartygen. Det är också uppenbart att hastigheterna för fartygen och i CO efter slutet av den accelererade rörelsefasen är lika med . Slutligen kommer det korrekta avståndet mellan rymdfarkosten efter slutet av fasen av accelererad rörelse att vara lika med avståndet i den medföljande IFR och lika med längden på linjen . Denna linje är en linje med konstant- tidskoordinat för den medföljande referensramen, som är kopplad till koordinater i CO genom Lorentz-transformationer : $A'B'$ $AB$ $L$ $A$ $B$ $S$ $v$ $A$ $B$ $A'B''$ $t'$ $S$

t'={\frac {\left(t-vx/c^{2}\right)}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.

$A'B''$ representerar en linje tagen samtidigt med avseende på rymdskeppens SS, det vill säga, för dem, en rent rumslig linje. Eftersom intervallet är invariant under CO-transformationer kan det beräknas i vilken lämplig referensram som helst, i detta fall i . $S$

Matematiskt, genom koordinater i CO, skrivs ovanstående överväganden enligt följande: $S$

t_{{B'}}=t_{{A'}}\,,

x_{B}-x_{A}=x_{{B'}}-x_{{A'}}=L\,,

x_{{B''}}-x_{{B'}}=v\left(t_{{B''}}-t_{{B'}}\right),

t_{{B''}}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{{B''}}=t_{{A'}}-{\frac {v}{c^{ 2}}}x_{{A'}}\,,

\overline {A'B''}={\sqrt {\left(x_{{B''}}-x_{{A'}}\right)^{2}-c^{2}\left(t_ {{B''}}-t_{{A'}}\right)^{2}}}\,.

Genom att införa hjälpvariabler

H=t_{{B''}}-t_{{B'}}=t_{{B''}}-t_{{A'}}\,,

W=x_{{B''}}-x_{{B'}}\,,

och märker det

W+L=x_{{B''}}-x_{{B'}}+x_{{B'}}-x_{{A'}}=x_{{B''}}-x_{{A '}}\,,

du kan skriva om ekvationen som

W=vH\qquad H={\frac {v}{c^{2}}}\left(W+L\right)\qquad \overline {A'B''}={\sqrt {\left(W +L\höger)^{2}-c^{2}H^{2}}}

och lös det:

\overline {A'B''}={\frac {L}{{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.

Följaktligen, vid beskrivning i den kommande referensramen, ökar avståndet mellan fartygen med en faktor. Eftersom snöret inte kan sträckas så kommer det att gå sönder. $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}$

Baserat på dessa resultat kom Bell till slutsatsen att relativitetsteorin behövde revideras. Han noterade att den relativistiska sammandragningen av kroppar, såväl som frånvaron av sammandragning i avstånden mellan rymdskepp i tankeexperimentet under övervägande, kan förklaras dynamiskt med hjälp av Maxwells ekvationer. Distorsion av intermolekylära elektromagnetiska fält orsakar sammandragning av rörliga kroppar - eller spänningar i dem, om deras sammandragning förhindras. Men dessa krafter verkar inte mellan fartyg.

Relativistisk lösning av problemet

Det relativistiska problemet med rörelser hos kroppar med lika accelerationer väckte forskarnas uppmärksamhet långt innan Bells paradox uppträdde. År 1907 visade Einstein [8] , med utgångspunkt i den relativistiska gravitationsteorin, att tiden flyter på olika sätt i accelererade system. Således förutspådde Einstein, genom principen om ekvivalens, gravitationsrödförskjutningen . I synnerhet i en "likformigt accelererad ram" eller, vad som är detsamma, i en enhetligt accelererad referensram, beror tidshastigheten på avståndet : ${\textstil \delta =x_{B}-x_{A}}$

τ = e g δ c 2 , {\displaystyle \tau =e^{g\delta \over c^{2)),}

\tau =e^{g\delta \over c^{2)),

där g är punkternas acceleration.

Relativistisk rörelseekvation för en kropp [9] med massa m under påverkan av en kraft ${\textstyle F_{x}}$

m c 2 d 2 x d s 2 = F x , {\displaystyle mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},}

mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},

och intervallet är proportionellt mot korrekt tid. Den korrekta tiden (avläsningar av raketens standardklocka ombord) bestäms av raketens rörelse och kan inte ändras på något sätt. Synkronisera till exempel med en "stationär" klocka.

{\textstyle s=c\tau }

I kurvlinjära koordinater används metoder för den allmänna relativitetsteorin. För att beskriva din egen icke-inertiella referensram är det nödvändigt att tillämpa kovariansdifferentiering

m c 2 D u x d s = F x , {\displaystyle mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},}

mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},

Dessutom beskrivs rörelsen i gravitationsfältet av ekvationen (geodesisk ekvation) [9] .

{\textstyle Du^{x}=0}

Om vi behöver veta accelerationen av en punkt i det tredimensionella rummet, så ser motsvarande uttryck i allmänna termer ganska komplicerat ut [10] . Men i sin egen referensram (hastigheten på punkterna är noll) uttrycks accelerationen enkelt:

d 2 x i d t 2 = c 2 Γ 00 i . {\displaystyle {d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.}

{d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.

Bells beräkningar och liknande beräkningar gäller alltså inte den relativistiska fysiken hos accelererade system. Det exakta svaret kan erhållas med metoderna i den allmänna relativitetsteorin. Bells problem kan dock också lösas direkt från relativitetsteorins principer.

Strikt, baserat på ljusets hastighets konstanta, löstes problemet med relativistisk rörelse hos kroppar med samma acceleration av Harry Lass 1963 [11] . Lass löste det endimensionella problemet med ett enhetligt accelererat system med hjälp av principen om ljusets hastighets konstanta hastighet. Lass betraktade en referensram som accelererade längs en axel i förhållande till ett tröghetskoordinatsystem . Vidare, genom att postulera att , och (ljusets koordinathastighet är en invariant), fick vi transformationen $O'XYZ$ $x$ $Oxyz$ $dX/dT=\pm c$ $dx/dt=\pm c$

x = c 2 g [ e g X / c 2 kontanter ⁡ g T c − ett ] {\displaystyle x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right] }

x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right]

och t = c g e g X / c 2 sinh ⁡ g T c . {\displaystyle t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.}

t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.

Lass lösning motsvarar Einsteins lösning för klockor i ett enhetligt accelererat system, och hans acceleration är verkligen konstant .

{\textstil \Gamma _{00}^{i}=g/c^{2}}

Om raketerna stoppas i Bell-problemet, det vill säga tas , kommer avståndet mellan dem alltid att fixas: ${\textstyle T=0}$

L | T = 0 = c 2 g ( e g X B / c 2 − e g X A / c 2 ) . {\displaystyle L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\höger).}

L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\höger).

Från denna ekvation visar det sig att avståndet mellan raketerna i tröghetsramen minskas i enlighet med Lorentz-lagen: x B − x A = ett − v 2 / c 2 L . {\displaystyle x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}L.}

x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}L.

Paradoxen har lösts. Lika accelererande raketer håller avståndet i sin egen referensram. Dessutom ser den "fixerade" observatören den vanliga Lorentz-kontraktionen.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Bell, JS Talbart och outsägligt i kvantmekaniken (obestämd) . - Cambridge: Cambridge University Press , 1987. Anmärkningsvärd bok som innehåller ett omtryck av Bells originaltidning från 1976 .
↑ Dewan, E.; Beran, M. Anmärkning om stresseffekter på grund av relativistisk sammandragning // American Journal of Physics : journal. - American Association of Physics Teachers , 1959. - 20 mars ( vol. 27 , nr 7 ). - s. 517-518 . - doi : 10.1119/1.1996214 . (inte tillgänglig länk)
↑ Skobeltsyn D.V. Tvillingparadoxen i relativitetsteorin. — M.: Nauka, 1966. — S. 72.
↑ Bell, John. Hur man lär ut speciell relativitetsteori (neopr.) .
↑ Nawrocki, Paul J. Stresseffekter på grund av relativistisk sammandragning // American Journal of Physics : journal. - 1962. - Oktober ( vol. 30 , nr 10 ). - s. 771-772 . - doi : 10.1119/1.1941785 . (inte tillgänglig länk)
↑ Dewan, Edmond M. Stresseffekter på grund av Lorentz kontraktion // American Journal of Physics : journal. - 1963. - Maj ( vol. 31 , nr 5 ). - s. 383-386 . - doi : 10.1119/1.1969514 . (inte tillgänglig länk)
↑ Matsuda, Takuya; & Kinoshita, Atsuya. A Paradox of Two Space Ships in Special Relativity (neopr.) // AAPPS Bulletin. - 2004. - T. Februari . — S.? . tryckt version
↑ Einstein, A. Om relativitetsprincipen och dess konsekvenser. rysk översättning, se A. Einstein. Samling av vetenskapliga artiklar, vol. 1. - M., Nauka förlag, 1965.
↑ 1 2 Landau LD, Lifshitz EM The Classical Theory of Fields Vol. 2 (4:e upplagan). Butterworth-Heinemann (1975).
↑ Sazhin M V Allmän relativitetsteori för astronomer. URL: http://www.astronet.ru/db/msg/1170927 Arkivkopia daterad 20 juli 2018 på Wayback Machine , s. 8.2.1.
↑ Lass, H. Accelerating Frames of Reference and the Clock Paradox , American Journal of Physics, Vol. 31, sid. 274-276, 1963.

Länkar

Gershtein S. S. , Logunov A. A. " J. S. Bells problem " (IHEP preprint 1996)
Gershtein S. S., Logunov A. A. J. Bells problem // Elementarpartiklars fysik och atomkärnan . - 1998. - T. 29 , nummer. 5 . - S. 463-468 .
Michael Weiss, Bell's Spaceship Paradox (1995 ) , USENET Relativity FAQ
Austin Gleeson, kursanteckningar kapitel 13 Se avsnitt 4.3
JH Field, [1] (länk ej tillgänglig )
Romain, JE A Geometric approach to Relativistic paradoxes //

Am . J Phys. : journal. - 1963. - Vol. 31 . - s. 576-579 . (Engelsk)

Hsu, Jong-Ping; & Suzuki. Extended Lorentz Transformations for Accelerated Frames and the Solution of the Two-Spaceship Paradox // AAPPS Bulletin : journal. - 2005. - Vol. oktober . — P.? . tryckt version. (länk ej tillgänglig )

Redžić DV(2010) "Relativistisk längdsångest fortsatte" (engelska)

Foukzon J., Podosyonov SA, Potapov AA,(2009), "Relativistisk längdexpansion i allmänt accelererat system återbesökt" . (Engelsk)

Podosyonov SA, Foukzon J. och Potapov AA, (2010) "A Study of the Motion of a Relativistic Continuous Medium" ,

Gravitation and Cosmology, 2010, Vol. 16, Nr 4, s. 307-312. ISSN 0202-2893, http://www.springerlink.com/content/j8kr55831h411365/ ( otillgänglig länk)