Spatio-temporal diagram

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 oktober 2021; kontroller kräver 12 redigeringar .

Rum-tidsdiagrammet , även känt som Minkowski-diagrammet , utvecklades 1908 av Hermann Minkowski och ger en illustration av egenskaperna hos rum och tid i speciell relativitet . Det tillåter, utan matematiska ekvationer, att kvalitativt förstå sådana fenomen som tidsutvidgning och Lorentz-kontraktion .

Minkowski-diagram är en tvådimensionell graf som visar händelser som inträffar i universum , som består av en rymddimension och en tidsdimension. Till skillnad från konventionella tidsdistansgrafer visas avståndet på den horisontella axeln och tiden på den vertikala axeln. Dessutom väljs axlarnas måttenheter på ett sådant sätt att ett föremål som rör sig med ljusets hastighet avbildas i en vinkel på 45° mot kartaxlarna.

Således visas varje objekt, såsom en observatör eller ett fordon, med en specifik linje på diagrammet, som kallas dess världslinje . Dessutom representerar varje punkt i diagrammet en specifik position i rum och tid och kallas en händelse , oavsett vad som händer där.

Grunderna

Termen "Minkowski-diagram" används både i en allmän och i en speciell mening. I allmänhet är ett Minkowski-diagram en tvådimensionell grafisk representation av en del av Minkowski-rymden , vanligtvis begränsad till en rumslig dimension. Måttenheterna i dessa diagram är tagna så att händelsens ljuskon består av linjer med lutning plus eller minus ett [1] . De horisontella linjerna motsvarar den vanliga föreställningen om samtidiga händelser för en stationär observatör vid utgångspunkten.

Ett separat Minkowski-diagram illustrerar resultatet av Lorentz-transformationerna . Lorentz-transformationer länkar två tröghetsreferensramar , där den stationära observatörenvila vid (0, 0) ändrar hastighet längs x -axeln . Observatörens nya tidsaxel bildar en vinkel α med den tidigare tidsaxeln med α < . I den nya referensramen ligger simultana händelser parallellt med en linje som lutar med α mot den tidigare samtidighetslinjen. Detta är den nya x -axeln . Både den ursprungliga uppsättningen av axlar och den nya uppsättningen av axlar har egenskapen att de är ortogonala med avseende på den inre (skalära) produkten i Minkowski-rummet eller den relativistiska produkten vid en punkt .

Oavsett värdet på α , bildar linjen t = x en universell [2] halvering .

Enheterna för den rumsliga och tidsmässiga axeln kan väljas till exempel enligt följande:

Sålunda representeras ljusbanor av linjer parallella med bisektrisen av vinkeln mellan axlarna.

Rum-tidsdiagram i newtonsk fysik

De svarta axlarna, märkta x och ct i det bifogade diagrammet, representerar koordinatsystemet för observatören i vila, som är på x = 0 . Observatörens världslinje sammanfaller med tidsaxeln ct . Varje linje parallell med denna axel kommer att motsvara ett stationärt objekt, men i en annan position. Den blå linjen beskriver ett föremål som rör sig med konstant hastighet v åt höger, till exempel en rörlig observatör.

Den blå linjen märkt ct' kan tolkas som tidsaxeln för den andra observatören. Tillsammans med banans axel (betecknad x och identisk för båda observatörerna) representerar deras koordinatsystem. Båda observatörerna är överens om platsen för ursprunget till deras koordinatsystem. En rörlig observatörs axlar är inte vinkelräta mot varandra, och skalan på dess tidsaxel är utsträckt. För att bestämma koordinaterna för en viss händelse måste två linjer dras, som var och en är parallell med en av de två axlarna som går genom händelsen. Deras skärningar med axlarna ger koordinaterna för händelsen.

Att bestämma positionen och tiden för händelse A i diagrammet, som förväntat, resulterar i samma tid för båda observatörerna. Olika värden erhålls för positionen eftersom den rörliga observatören har närmat sig positionen för händelsen A, eftersom t = 0 . Som regel inträffar alla händelser på en linje parallell med banaxeln ( x -axel ) samtidigt för båda observatörerna. Det finns bara en global tid t = t ′ , som modellerar förekomsten av en gemensam positionsaxel. Å andra sidan, på grund av de två olika tidsaxlarna, mäter observatörer vanligtvis olika vägkoordinater för samma händelse. Denna grafiska transformation från x och t till x' och t' , och vice versa, beskrivs matematiskt av de så kallade galileiska transformationerna .

Rum-tidsdiagram i speciell relativitetsteori

Albert Einstein (1905) fann att den newtonska beskrivningen är felaktig [3] . Hermann Minkowski gav sin grafiska tolkning 1908 [4] . Rum och tid har egenskaper som leder till olika regler för att transformera koordinater vid rörliga observatörer. I synnerhet inträffar händelser som inträffar samtidigt från en observatörs synvinkel vid olika tidpunkter för en annan.

På Minkowski-diagrammet motsvarar denna relativitet av simultanitet införandet av en separat vägaxel för den rörliga observatören. Enligt regeln som beskrivs ovan tolkar varje observatör alla händelser på en linje parallell med axeln för hans väg samtidigt. Händelseförloppet från betraktarens synvinkel kan illustreras grafiskt genom att flytta denna linje i diagrammet från botten till toppen.

Om tidsaxlarna tilldelas ct istället för t , så blir vinkeln α mellan de båda banaxlarna x och x' identisk med vinkeln mellan tidsaxlarna ct och ct' . Detta följer av det andra postulatet om speciell relativitet, som säger att ljusets hastighet är densamma för alla observatörer, oavsett deras relativa rörelse (se nedan). Vinkeln α ges av formeln [5]

.

Motsvarande transformation från x och t till x' och t' och vice versa, beskrivs matematiskt av Lorentz-transformationer . Oavsett vilka rumsliga och tidsmässiga axlar som uppstår från en sådan transformation, motsvarar de på Minkowski-diagrammet konjugerade diametrarpar av hyperboler . Skalorna längs axlarna ges enligt följande: om U  är enhetslängd längs ct- respektive x -axlarna , så är enhetslängden längs ct'- och x'- axlarna : [6]

ct - axeln  är klockans världslinje som vilar i S , U representerar varaktigheten mellan två händelser som inträffar på denna världslinje, även kallad den korrekta tiden mellan dessa händelser. Längden U på x -axeln representerar den korrekta längden på stången som vilar i S . Samma tolkning kan också tillämpas på avståndet U ' på ct'- och x'-axlarna för klockor och staplar som vilar i S' .

Loedel diagram

Medan rymd- och tidsaxlarna för en referensram i vila är i räta vinklar, bildar axlarna i en rörlig referensram en spetsig vinkel. Eftersom referensramarna måste vara likvärdiga får man intrycket att en sådan asymmetri bryter mot likvärdigheten. Ändå har det visat sig att det finns en mellanliggande referensram "mellan" den i vila och den i rörelse, i vilken denna symmetri syns ("mellanreferensram") [7] . I denna referensram rör sig de två ursprungliga referensramarna i motsatta riktningar med samma hastighet. Genom att använda sådana koordinater blir längd- och tidsenheterna för båda axlarna lika. Om β =vcoch y =ett√ 1 − β 2ges mellan S och S', då är dessa uttryck relaterade till värden i det mellanliggande systemet S 0 enligt följande: [7] [8]

Till exempel, om β = 0,5 mellan S och S' , så rör sig de i kraft av (2) i det mellanliggande systemet S 0 ungefär från ±0,268 s i olika riktningar. Å andra sidan, om β 0 = 0,5 i S 0 , så är den relativa hastigheten mellan S och S' i deras egna referensramar 0,8 c på grund av (1) . Konstruktionen av axlarna S och S' utförs i enlighet med den vanliga metoden med användning av tan α = β 0 med avseende på de ortogonala axlarna för den mellanliggande referensramen (fig. 1).

Det visar sig dock att när man konstruerar ett sådant symmetriskt diagram är det möjligt att erhålla relationer mellan diagram, även utan att använda en mellanliggande referensram och β 0 alls . I stället, mellan S och S', är den relativa hastigheten β =vci följande uttryck som ger samma resultat: [9] Om φ är vinkeln mellan axlarna ct ′ och ct (eller mellan x och x ′ ), och θ mellan axlarna x ′ och ct ′ , då: [9] [ 10] [ 11] [12]

Från fig. 2 är två konstruktionsmetoder uppenbara: (a) x -axeln är riktad vinkelrätt mot ct'- axeln , x'- och ct -axlarna adderas med en vinkel φ ; (b) x' -axeln är ritad i en vinkel θ med avseende på ct'-axeln , x - axeln adderas vinkelrätt mot ct'-axeln , ct - axeln är vinkelrät mot x' -axeln.

Komponenterna i vektorn kan tydligt demonstreras av följande diagram (fig. 3): parallella projektioner ( x , t ; x ′ , t ′) av vektorn R är dess kontravarierande komponenter, ( ξ , τ ; ξ ′, τ ; ′) är dess kovarianta komponenter [10] [11] .

Tidsavmattning

Relativistisk tidsutvidgning innebär att klockor (som visar rätt tid ) som rör sig i förhållande till observatören saktar ner. Faktum är att själva tiden i referensramen för en rörlig klocka observeras vara långsam. Detta kan ses direkt från det intilliggande Loedel-diagrammet eftersom längdenheterna i de två axelsystemen är identiska. För att jämföra avläsningar mellan två system kan vi alltså helt enkelt jämföra längderna som ses på sidan: vi behöver inte beakta det faktum att längdenheterna på varje axel är förvrängda av en faktor

som vi måste ta hänsyn till i motsvarande Minkowski-diagram.

Det antas att observatören, vars referensram ges av de svarta axlarna, rör sig från origo O till A. En rörlig klocka har en referensram som ges av de blå axlarna och rör sig från O till B. För en svart observatör, alla händelser som inträffar samtidigt med händelsen i punkt A, belägen på en linje parallell med dess rumsliga axel. Denna linje går genom A och B, så A och B är samtidigt för observatörens referensram med svarta axlar. En klocka som rör sig i förhållande till en svart observatör markerar dock tiden på den blå tidsaxeln. Detta representeras av ett avstånd från O till B. Därför anser en observatör vid punkt A med svarta axlar att hans klocka motsvarar ett avstånd från O till A, medan för en klocka som rör sig i förhållande till honom själv, till ett avstånd från O till B På grund av det faktum att avståndet från O till B är mindre än avståndet från O till A, drar han slutsatsen att tiden som förflutit på klockan som rör sig i förhållande till honom är mindre än tiden som förflutit på hans egen klocka.

Den andra observatören, som rör sig tillsammans med klockan från O till B, kommer att hävda att klockan för den första bara har nått tid C, och därför går klockan för den första långsammare. Anledningen till dessa till synes paradoxala uttalanden är den olika definitionen av samtidigheten av händelser som inträffar på olika platser. På grund av relativitetsprincipen är frågan om vem som har rätt obesvarbar och saknar mening.

Lorentz kontraktion

Relativistisk längdsammandragning innebär att längden på ett föremål som rör sig i förhållande till betraktaren minskar, och till och med själva rummet krymper. Det antas att observatören också rör sig längs ct- axeln och att världslinjerna för objektets extrempunkter som rör sig i förhållande till honom rör sig längs axeln ct' och parallellt med linjen som går genom punkterna A och B. För denna observatör är objektets extrempunkter vid t = 0 O och A. För en andra observatör som rör sig med objektet, så att objektet för honom är i vila, har det sin egen längd OB vid t' =0 . Eftersom OA<OB- objektet reduceras för den första observatören.

Den andra observatören kommer att hävda att den första observatören tog objektets ändpunkter vid O och A vid olika tidpunkter, vilket resulterade i ett felaktigt resultat. Om en andra observatör hittar längden på ett annat objekt med ändpunkter som rör sig längs ct- axeln och en parallell linje genom C och D, kommer han att komma till samma slutsats att objektet är komprimerat från OD till OC. Varje observatör utvärderar objekt som rör sig med den andra observatören reducerad. Denna till synes paradoxala situation är en konsekvens av simultanitetens relativitet, vilket framgår av analysen med hjälp av Minkowski-diagrammet.

Med alla dessa överväganden antogs det att båda observatörerna tar hänsyn till ljusets hastighet och avstånden till alla händelser de ser för att bestämma de faktiska ögonblicken då händelserna inträffar ur deras synvinkel.

Konstansen för ljusets hastighet

Ett annat postulat av den speciella relativitetsteorin är ljusets hastighets konstanta hastighet. Den säger att varje observatör i en tröghetsreferensram som mäter ljusets hastighet relativt sig själv i vakuum får samma värde oavsett sin egen rörelse och ljuskällans rörelse. Detta påstående verkar paradoxalt, men det följer direkt av differentialekvationen som erhållits för det, och är förenligt med Minkowski-diagrammet. Detta förklarar också resultatet av Michelson-Morley-experimentet , som ansågs vara ett mysterium innan relativitetsteorin upptäcktes, när fotoner ansågs vågor i ett oupptäckbart medium.

För världslinjer av fotoner som passerar genom origo i olika riktningar är villkoren x = ct och x = − ct uppfyllda . Det betyder att vilken position som helst på en sådan världslinje motsvarar samma x- och ct- koordinatvärden . Det följer av regeln för att erhålla koordinater i ett skevt koordinatsystem att dessa två världslinjer är bisektorerna för de vinklar som bildas av x- och ct- axlarna . Minkowski-diagrammet visar att de också är vinkelhalveringslinjer för x'- och ct' - axlarna . Det betyder att båda observatörerna mäter samma hastighet c för båda fotonerna.

Andra koordinatsystem som motsvarar observatörer med godtyckliga hastigheter kan också läggas till detta Minkowski-diagram. För alla dessa system är fotonernas världslinjer bisektorer av vinklarna som bildas av koordinataxlarna. Ju närmare observatörens hastighet är ljusets hastighet, desto mer närmar sig axlarna motsvarande vinkelhalveringslinjer. Banaxeln är alltid plattare och tidsaxeln är brantare än fotonernas världslinjer. Skalorna på båda axlarna är alltid desamma, men skiljer sig vanligtvis från andra koordinatsystem.

Ljusets hastighet och kausalitetsprincipen

Raka linjer som passerar genom ursprunget och brantare än världens linjer av fotoner motsvarar kroppar som rör sig långsammare än ljusets hastighet. Detta är sant ur alla observatörers synvinkel, eftersom fotonernas världslinjer är vinkelhalveringslinjer i vilken tröghetsreferensram som helst. Därför kan vilken punkt som helst ovanför ursprunget och mellan världslinjerna för båda fotonerna nås med en hastighet som är mindre än ljusets hastighet, och kan ha ett orsakssamband med ursprunget. Detta område är den absoluta framtiden, eftersom varje händelse i detta område inträffar senare än händelsen vid ursprunget, oavsett observatören, vilket tydligt syns i Minkowski-diagrammet.

På liknande sätt är området under ursprunget och mellan fotonvärldens linjer det absoluta förflutna i förhållande till ursprunget. Varje händelse från detta område kan vara orsaken till en händelse vid ursprunget.

Kopplingen mellan sådana par av händelser kallas timelike , eftersom det för alla observatörer finns ett positivt tidsintervall som inte är noll mellan dem. En rät linje som förbinder två sådana händelser kan alltid vara tidsaxeln för någon observatör för vilken dessa händelser inträffar på samma plats i rymden. Två händelser som bara kan kopplas samman med en linje som motsvarar ljusets hastighet kallas lightlike .

Ytterligare en dimension av rymd kan läggas till Minkowski-diagrammet, vilket resulterar i en tredimensionell representation. I det här fallet blir framtidens och det förflutnas regioner kottar med hörn som berör varandra vid ursprunget. De kallas ljuskottar .

Ljusets hastighet som en gräns

I likhet med exemplet ovan kommer alla linjer som passerar genom origo och mer horisontella än fotonvärldens linjer att motsvara objekt eller signaler som rör sig snabbare än ljusets hastighet , oavsett observatörens hastighet. Därför kan ingen händelse utanför ljuskäglarna nås från origo, vare sig av en ljussignal eller av något föremål eller signal som rör sig med en hastighet som är lägre än ljusets hastighet. Sådana par av händelser kallas spacelike , eftersom de har ett ändligt rumsligt avstånd som inte är noll för alla observatörer. Den räta linjen som förbinder sådana händelser är alltid den rumsliga koordinataxeln för en möjlig observatör för vilken dessa händelser inträffar samtidigt. Genom en liten förändring av hastigheten för detta koordinatsystem i båda riktningarna kan man alltid hitta två tröghetsreferensramar, vars observatörer anser att den kronologiska ordningen för dessa händelser är olika.

Således, om ett föremål rör sig snabbare än ljus, till exempel från O till A, som visas i diagrammet intill, skulle detta innebära att för varje observatör som observerar ett föremåls rörelse från O till A, kan ytterligare en observatör hittas (röra sig med en hastighet som är mindre än ljusets hastighet c med avseende på den första) för vilken objektet rör sig från A till O. Frågan om vilken observatör som har rätt har inget entydigt svar och har därför ingen fysisk betydelse. Varje föremål eller signal som rör sig på detta sätt skulle bryta mot kausalitetsprincipen.

Dessutom kommer möjligheten att skicka signaler snabbare än ljusets hastighet att göra det möjligt för information att överföras till källans eget förflutna. I diagrammet skickar en observatör vid O i x - ct -ramen ett snabbare-än-ljus-meddelande till A. Vid punkt A tas det emot av en annan observatör i x' - ct'- ramen (det vill säga med en annan hastighet), som skickar tillbaka den, också snabbare än ljusets hastighet, i B. Men B ligger i det förflutna med avseende på O. Det absurda i situationen ligger i det faktum att båda observatörerna därefter bekräftar att de inte gjorde det. ta emot meddelanden överhuvudtaget, och alla meddelanden togs inte emot, utan skickades från var och en till den andra observatören, som detta sett i Minkowski-diagrammet. Dessutom, om det var möjligt att accelerera observatören till ljusets hastighet, skulle deras rumsliga och tidsmässiga axlar sammanfalla med bisektrisen av deras vinkel. Koordinatsystemet skulle kollapsa på grund av att tidsdilatationen når ett sådant värde att tidens gång helt enkelt stannar.

Dessa överväganden visar att gränsen för ljusets hastighet är en konsekvens av rymdtidens egenskaper och inte objektens egenskaper, som till exempel tekniskt - rymdskepps ofullkomlighet. Således har förbudet mot snabbare-än-ljus-rörelse i Minkowski-rymden inget att göra med elektromagnetiska vågor eller ljus, utan härrör från strukturen av rum-tiden.

Rum-tidsdiagram av en accelererande observatör i speciell relativitetsteori

Omedelbart kommande tröghetsreferensramar längs världslinjen för en snabbt accelererande observatör (mitten). Den vertikala riktningen indikerar tid, den horisontella riktningen indikerar avstånd, den streckade linjen är rum-tidsbanan ("världslinjen") för observatören. Små prickar är specifika händelser i rum-tid. Om du tänker på dessa händelser som en ljusblixt, är händelserna som passerar genom de två diagonala linjerna i bildens nedre halva (ljuskonen för den tidigare observatören vid utgångspunkten) händelserna som är synliga för betraktaren. Världslinjens lutning (avvikelse från vertikalen) ger observatörens relativa hastighet. Lägg märke till hur den omedelbart kommande tröghetsramen ändras när observatören accelererar.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Mermin (1968) Kapitel 17
  2. ↑ Se Vladimir Karapetov
  3. ↑ Einstein, Albert. Zur Elektrodynamik bewegter Körper  (neopr.)  // Annalen der Physik . - 1905. - T. 322 , nr 10 . - S. 891-921 . - doi : 10.1002/andp.19053221004 . - . . Se även: Engelsk översättning Arkiverad 25 november 2005 på Wayback Machine .
  4. ↑ Minkowski, Hermann. Raum und Zeit  (tyska)  // Physikalische Zeitschrift  : magazin. - 1909. - Bd. 10 . - S. 75-88 .
    • Olika översättningar på Wikisource: Space and Time
  5. ↑ Demtröder, Wolfgang. Mekanik och termodynamik  (neopr.) . — illustrerad. - Springer, 2016. - S. 92-93. - ISBN 978-3-319-27877-3 . Utdrag av sida 93 Arkiverad 11 augusti 2020 på Wayback Machine
  6. ↑ Freund, Jürgen. Special Relativity for Beginners: En lärobok för studenter  (engelska) . - World Scientific , 2008. - P. 49. - ISBN 981277159X .
  7. ↑ 1 2 Mirimanoff, Dmitry. La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume  (fr.)  // Archives des sciences physiques et naturelles (tillägg): tidskrift. - 1921. - Vol. 3 . - S. 46-48 . (Översättning: The Lorentz-Einstein transformation and the universal time of Ed. Guillaume )
  8. ↑ Shadowitz, Albert. Det elektromagnetiska fältet  (neopr.) . - Nytryck av 1975. - Courier Dover Publications , 2012. - S. 460. - ISBN 0486132013 . Se [ [1]  i " Google Böcker " Google böcker, sid. 460]
  9. ↑ 1 2 Sartori, Leo. Att förstå relativitet: Ett förenklat förhållningssätt till Einsteins  teorier . — University of California Press , 1996. — S. 151ff. - ISBN 0-520-20029-2 .
  10. ↑ 1 2 Gruner, Paul; Sauter, Joseph. Représentation géométrique élémentaire des formules de la théorie de la relativité  (franska)  // Archives des sciences physiques et naturelles: magazine. - 1921. - Vol. 3 . - S. 295-296 . (Översättning: Elementär geometrisk representation av formlerna för den speciella relativitetsteorin )
  11. ↑ 1 2 Gruner, Paul. Eine elementare geometrische Darstellung der Transformationsformeln der speziellen Relativitätstheorie  (tyska)  // Physikalische Zeitschrift  : magazin. - 1921. - Bd. 22 . - S. 384-385 . (Översättning: En elementär geometrisk representation av transformationsformlerna för den speciella relativitetsteorin )
  12. ↑ Shadowitz, Albert. Special Relativity  (neopr.) . - Nytryck från 1968. - Courier Dover Publications , 1988. - S. 20-22. - ISBN 0-486-65743-4 .

Källor