Ytarea

Ytarea är en additiv numerisk egenskap hos ytan .

Definitioner

I alla definitioner av area beskrivs först den klass av ytor för vilken den är definierad. Det enklaste sättet är att bestämma arean av polyedriska ytor: som summan av ytorna på deras plana ytor. Klassen av polyedriska ytor är dock inte tillräckligt bred för de flesta tillämpningar.

Oftast definieras ytarean för klassen bitvis släta ytor med bitvis slät kant. Detta kan göras med hjälp av följande konstruktion: Ytan är uppdelad i delar med bitvis jämna gränser: för varje del väljs ett plan och den aktuella delen projiceras ortogonalt på den; området för de erhållna plana projektionerna sammanfattas. Arean av själva ytan definieras som den exakta övre gränsen för sådana summor.

Om en yta i det euklidiska rymden ges av en parametriskt bitvis jämn funktion , där parametrarna ändras i ett område på planet , så kan arean uttryckas med en dubbel integral $C^1$ $r(u,v)$ $u$ $v$ $D$ $(u,v)$ $S$

S=\iint \limits _{D}|r_{u}\times r_{v}|\cdot du\cdot dv,

där betecknar vektorprodukten, a och är partiella derivator med avseende på och . $\ gånger$ $r_{u}$ $r_{v}$ $u$ $v$

Denna integral kan skrivas om enligt följande:

S=\iint \limits _{D}{\sqrt {\det g_{{ij}}}}dudv

var , , och även $g_{{11}}=|r_{u}|^{2}$ $g_{{12}}=\langle r_{u},r_{v}\rangle$ $g_{{22}}=|r_{v}|^{2}$

S=\iint \limits _{D}{\sqrt {\det(J_{r}^{\mathrm {T}}\cdot J_{r)))))dudv

där betecknar Jacobi-matrisen för kartläggningen . $J_{r}$ $(u,v)\mapsto r(u,v)$

Kommentarer

I synnerhet, om ytan är grafen för en -slät funktion över en domän i planet , då $C^1$ $z=f(x,y)$ $D$ $(x,y)$ $S=\iint \limits _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy$
- Från dessa formler härleds välkända formler för arean av en sfär och dess delar, metoder är underbyggda för att beräkna arean av rotationsytor etc.
För tvådimensionella bitvis släta ytor i Riemannska grenrör fungerar denna formel som en definition av området, medan rollen av , och spelas av komponenterna i den metriska tensorn av själva ytan. $g_{{11}}$ $g_{12}=g_{21}$ $g_{{22}}$

Ett försök att introducera begreppet arean av krökta ytor som gränsen för områdena för inskrivna polyedriska ytor (precis som längden på en kurva definieras som gränsen för inskrivna polygonala linjer) stöter på svårigheter. Även för en mycket enkel krökt yta kan området av polyedrar som är inskrivet i det med progressivt mindre ytor ha olika gränser beroende på valet av sekvensen av polyedrar. Detta demonstreras tydligt av ett välkänt exempel, den så kallade Schwartz-stöveln , där sekvenser av inskrivna polyedrar med olika areagränser konstrueras för sidoytan av en rät cirkulär cylinder.
- Emellertid är arean av en sluten konvex yta lika med den minsta övre gränsen för områdena av konvexa polyedriska ytor som är inskrivna i den.

Egenskaper

Arean av den inbäddade ytan sammanfaller med det 2-dimensionella Hausdorff-måttet på dess bild.
Arean av en inbäddad yta i det tredimensionella euklidiska rymden sammanfaller med Minkowski-kapaciteten för kodimension 1 av dess bild.

Se även

Litteratur

Dubrovsky V. N. På jakt efter att bestämma ytan Arkivexemplar av 27 juni 2017 på Wayback Machine // Kvant . - 1978. - Nr 5. - S. 31-34.

Dubrovsky V.N. Ytarea enligt Minkowskis arkivkopia av 15 februari 2017 på Wayback Machine // Kvant . - 1979. - Nr 4. - S. 33-35.

Merzon G. A., Yashchenko I. V. Längd, area, volym. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .