Gräns (matematik)

Gränsen är ett av de grundläggande begreppen för matematisk analys , den är baserad på sådana grundläggande delar av analysen som kontinuitet , derivata , integral , oändliga serier , etc. Det finns en gräns för en sekvens och en gräns för en funktion [1] .

Begreppet en gräns användes på en intuitiv nivå redan under andra hälften av 1600-talet av Newton , såväl som av matematiker från 1700-talet, som Euler och Lagrange . De första rigorösa definitionerna av gränsen för en sekvens gavs av Bolzano 1816 och av Cauchy 1821.

Historik

Skäl för termen

Operationen att ta gränsen i matematisk analys kallas passage till gränsen [2] . Det intuitiva konceptet för passage till gränsen användes av forskarna i det antika Grekland när de beräknade områdena och volymerna för olika geometriska former. Metoder för att lösa sådana problem utvecklades huvudsakligen av Arkimedes .

När man skapade differential- och integralkalkylen använde 1600-talets matematiker (och framför allt Newton ) också uttryckligen eller implicit begreppet passage till gränsen. För första gången introducerades definitionen av begreppet gräns i Wallis arbete "Arithmetic of Infinite Values" (XVII-talet), men historiskt sett låg inte detta begrepp till grund för differential- och integralkalkyl.

Först på 1800-talet, i verk av Cauchy , användes teorin om gränser för en rigorös motivering av matematisk analys. Ytterligare utveckling av teorin om gränser utfördes av Weierstrass och Bolzano .

Med hjälp av teorin om gränser under 1800-talets första hälft underbyggdes framför allt användningen av oändliga serier i analys, som var en bekväm apparat för att konstruera nya funktioner [3] .

Gränssymbol

Den allmänt accepterade gränssymbolen föreslogs av Simon Lhuillier (1787) i följande format: denna notation stöddes av Cauchy (1821). Pricken efter lim försvann snart [4] . Weierstrass introducerade notationen för gränsen nära den moderna , även om han istället för pilen vi är vana vid använde likhetstecknet: [5] . Pilen dök upp i början av 1900-talet med flera matematiker på en gång [6] . $\lim _{x\to a}f(x)$ $\operatörsnamn {lim.} x:a;$ $\operatorname {Lim} _{x=a}$

Dirichlet (1837) var den första som föreslog notationen för artens ensidiga gräns i formen: Moritz Pasch (1887) introducerade andra viktiga begrepp - de övre och nedre gränserna , som han skrev i formen: och resp. Utomlands har denna symbolik blivit standard, och andra beteckningar råder i inhemsk litteratur: introducerad av Alfred Pringsheim 1898 [7] . $\lim _{x\to a+0}f(x)$ $f(a+0),f(a-0).$ $\lim \sup$ $\lim \inf$ $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$

Sekvensgräns

Gränsen för en sekvens är ett objekt som medlemmarna i sekvensen i någon mening tenderar eller närmar sig med ökande ordningstal.

Ett tal kallas gränsen för en sekvens if $a$ $x_{1},x_{2},...,x_{n},...$

$\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{, }}\exists {\text{ }}N(\varepsilon ){\text{, }}\forall {\text{ }} n>N(\varepsilon ){\text{ }}{\text{ }}|x_{n}-a|<\varepsilon$ .

Sekvensgränsen betecknas med . Notationen är tillåten . ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n))$ ${\displaystyle \lim x_{n))$

Egenskaper:

Om gränsen för en sekvens finns är den unik.
$\lim c=c$ $,\,c={\rm {const}}.$
$\lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}$ (om båda gränserna finns)
$\lim(qx_{n})=q\lim x_{n}$ $,\,q={\rm {const}}.$
$\lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}$ (om båda gränserna finns)
$\lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}$ (om båda gränserna finns och nämnaren på höger sida inte är noll)
Om och , då (teoremet "klämd sekvens", även känd som " två polismanssatsen ") $a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n$ $\lim a_{n}=\lim b_{n}$ $\lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}$

Funktionsgräns

En funktion har en gräns vid en punkt om, för alla värden som är tillräckligt nära , värdet är nära . $f(x)$ $A$ $x_{0}$ $x$ $x_{0}$ $f(x)$ $A$

Talet b kallas gränsen för funktionen vid punkten , om den finns så att . $f(x)$ $a$ $\forall \varepsilon >0$ $\delta>0$ $\forall x,0<|xa|<\delta$ $|f(x)-b|<\varepsilon$

Gränserna för funktioner har egenskaper som liknar gränserna för sekvenser, till exempel är gränsen för summan lika med summan av gränserna om alla gränser finns. $\lim _{{x\to x_{0}}}(f(x)+g(x))=\lim _{{x\to x_{0}}}f(x)+\lim _{{ x\till x_{0}}}g(x)$

Föreställningen om gränsen för en sekvens på språket för stadsdelar

Låt vara en uppsättning där begreppet en stadsdel definieras (till exempel ett metriskt utrymme ). Låta vara en sekvens av punkter (element) i denna uppsättning. Vi säger att det finns en gräns för den här sekvensen om nästan alla medlemmar av sekvensen ligger i någon grannskap av punkten , eller $X$ $U$ $x_{i}\i X$ $x\i X$ $x$ $\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\exists {\text{ }}n,{\text{ }}\forall {\text{ }}i>n{\ text{ }}{\text{ }}x_{i}\in U(x)$

Anmärkningsvärda gränser

Anmärkningsvärda gränser är termer som används i sovjetiska och ryska kalkylböcker för att referera till två välkända matematiska identiteter med att ta en gräns:

Första anmärkningsvärda gränsen: $\lim _{{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}=1.$
Andra anmärkningsvärda gränsen: $\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.$

Anmärkningsvärda gränser och deras konsekvenser används i avslöjandet av osäkerheter för att hitta andra gränser.

Ultralimit

En ultralimit är en konstruktion som låter dig definiera en gräns för en bred klass av matematiska objekt. I synnerhet fungerar den för sekvenser av tal och sekvenser av punkter i ett metriskt utrymme, och tillåter generaliseringar till sekvenser av metriska utrymmen och sekvenser av funktioner på dem. Denna konstruktion används ofta för att undvika att hoppa till en efterföljd flera gånger. Denna konstruktion använder existensen av ett icke -principiellt ultrafilter , vars bevis i sin tur använder valets axiom .

Se även

Anteckningar

↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , sid. 556.
↑ Khinchin A. Ya. Åtta föreläsningar om matematisk analys. - M. - L., Gostekhizdat, 1948. - S. 14
↑ Tsypkin A. G. Handbok i matematik. - M .: "Nauka", 1983.
↑ Hairer E., Wanner G. Matematisk analys i ljuset av dess historia. - M . : Scientific world, 2008. - 396 sid. - ISBN 978-5-89176-485-9 . - S. 172.
↑ Yushkevich A.P. Utveckling av begreppet gräns före K. Weierstrass // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1986. - Nr 30 . - S. 76 .
↑ Alexandrova N. V. Historia om matematiska termer, begrepp, notation: Ordbok-referensbok . - 3:e uppl. - St Petersburg. : LKI, 2008. - S. 133 -135. — 248 sid. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 års nytryck), §631-637. - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 sid. — ISBN 978-1-60206-684-7 .

Litteratur

Limit // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor dansk Stor norsk Stor ryss Kroatisk Britannica (online) Treccani Universalis Universalis
I bibliografiska kataloger	NDL : 00567231

Gräns ​​(matematik)