Gegenbauer transformation

Gegenbauer-transformen är den integrerade transformationen av funktionen : $T\vänster\{F(t)\höger\}$ $Med)$

T\left\{F(t)\right\}=\int \limits _{{-1}}^{{+1}}(1-t^{2})^{{\rho -1/2 }}C_{n}^{\rho }(t)F(t)dt=f_{n}^{\rho },

\rho >-1/2,~n=0,~1,~2,~\ldots,

var finns Gegenbauer-polynomen . Om funktionen expanderas till en generaliserad Fourier-serie i Gegenbauer-polynom, så gäller inversionsformeln $C_{n}^{\rho }(t)$

F(t)=\summa _{{n=0}}^{{\mathcal {1}}}{{n!(n+\rho )\Gamma ^{2}(\rho )2^{{2\ rho -1}}} \över {\pi \Gamma (n+2\rho )))C_{n}^{\rho }(t)f_{n}^{\rho }(t),~-1 <t<1

Gegenbauer-transformen minskar differentialdriften

R\vänster[F(t)\höger]=(1-t^{2})F^{{\prime \prime }}-(2\rho +1)tF^{{\prime }}

T\left\{R\left[F(t)\right]\right\}=-n(n+2\rho )f_{n}^{\rho }

Uppkallad efter den österrikiske matematikern Leopold Gegenbauer (1849-1903).

Litteratur

Ditkin V. A., Prudnikov A. P. , i samlingen: Vetenskapens resultat. Ser. Matte. Matematisk analys. 1966, M., 1967, sid. 7-82.

Integrerade transformationer
Abel förvandla Bessel förvandlas Bushman förvandla Gegenbauer transformation Hilbert förvandla Kontorovich-Lebedev förvandling Laplace transformation Meyer förvandla Mehler-Fock förvandling Mellin transform Nerain transformation Radonomvandling Stieltjes förvandlas Fouriertransform Hankel transformation Hartley transformation