Hausdorffs maximala princip
Hausdorffs maximala princip , även kallad Hausdorffs maximalitetssats , säger :
I alla partiellt ordnade uppsättningar finns det en maximal linjärt ordnad delmängd .Hausdorff-maximumprincipen formulerades och bevisades av Felix Hausdorff 1914 , och är en alternativ och tidigare formulering av Zorns lemma . Precis som nämnt lemma är Hausdorffs maximiprincip likvärdig med valets axiom .
Motsvarande formulering
Det finns en andra formulering av maximiprincipen, som är likvärdig med den första. För att formulera det exakt introducerar vi först följande definitioner. En kedja i en delvis ordnad uppsättning är vilken som helst av dess linjärt ordnade delmängder (särskilt den tomma uppsättningen ). En kedja kallas maximal om den inte ingår som en riktig delmängd i någon annan kedja som tillhör .
Hausdorffs maximiprincip (andra formulering). I ett delvis ordnat set ingår varje kedja i några av dess maximala kedjor.
Den första formuleringen är ett specialfall av den andra, om vi tar den tomma uppsättningen som den initiala kedjan . Men i verkligheten är de likvärdiga. För ett bevis, se Påståenden som motsvarar valets axiom .
Källor
- Kolmogorov AN, Fomin SV Element i funktionsteorin och funktionsanalys. - 7:e uppl. - M. : "FIZMATLIT", 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Litteratur
- Aleksandrov PS Introduktion till mängdlära och allmän topologi. - M . : "NAUKA", 1977. - 368 sid.
- Kurosh A. G. Föreläsningar om allmän algebra. - 2:a uppl. - M . : "NAUKA", 1973. - 400 sid.
- Hausdorff F. Mängdlära. - 4:e uppl. - M. : URSS, 2007. - 304 sid. - ISBN 978-5-382-00127-2 .