Principen om minsta tvång

Principen om minsta begränsning , eller Gauss-principen , består i det faktum att den verkliga rörelsen av ett system vid varje tidpunkt under inverkan av aktiva krafter och föremål för idealiska begränsningar skiljer sig från alla kinematiskt möjliga rörelser gjorda från samma initiala konfiguration och med samma initiala hastigheter, genom egenskapen att för verklig rörelse är måttet på avvikelse från fri rörelse, det vill säga tvång, ett minimum.

Principen om minsta tvång är en av mekanikens differentiella variationsprinciper och föreslogs [1] av K. F. Gauss 1829 i hans arbete "On a New General Law of Mechanics" . Principen är tillämplig på mekaniska system med idealiska anslutningar och formulerad av Gauss på följande sätt: "rörelsen av ett system av materiella punkter, sammankopplade på ett godtyckligt sätt och föremål för varje inflytande, sker i varje ögonblick på det mest perfekta möjliga sättet, i i enlighet med rörelsen att dessa punkter, om de alla blev fria, d.v.s. sker med minsta möjliga tvång, om vi, som ett mått på tvång som tillämpas under ett oändligt litet ögonblick, tar summan av produkterna av massan av varje punkt med kvadraten på storleken på dess avvikelse från den position som den intog skulle, om den var fri" [2] .

Gauss formulering av principen var inte tillräckligt bestämd. För den analytiska formuleringen av denna princip var arbetet av G. Scheffler (1820-1903) "On the Gaussian fundamental law of mechanics" , publicerad 1858, av stor betydelse [3] . I det omdefinierade Scheffler [4] tvång . som följande (i modern notation [5]): ) uttryck:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum ))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \right)^{{2}}

där är antalet punkter som ingår i systemet, är massan av den e punkten, är resultanten av de aktiva krafterna som appliceras på den, är accelerationen av en given punkt (i själva verket använde Scheffler en skalär form av notation, och han hade ingen faktor framför summatecknet). Efter det blev förekomsten av ett minimum för funktionen det matematiska uttrycket för principen om minsta begränsning . $N$ $mi}}$ $i$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\mathbf {w}}_{{i}}$ $Z$

Motivering

Låt spetsen på det mekaniska systemet med massa vid tidpunkten vara i läge . Med fri rörelse kommer en punkt att täcka en sträcka i ett mycket litet intervall (Fig. 1), där är punktens hastighet vid tidpunkten . Om en aktiv kraft verkar på punkten kommer punkten att röra sig under påverkan av denna kraft . Om vi expanderar förskjutningsvektorn till en serie i tid kommer vi att ha: $mi}}$ $t_{0}$ $Mi}$ $\tau$ ${\overline {M_{i}A_{i))}\,=\,\mathbf {v} _{i}\,\tau$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i))$ $t_0$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{i}B_{i))))$

\mathbf {r} (t_{0}+\tau )\;=\;\mathbf {r} (t_{0})+{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}( t_{0})\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\,\tau ^ {2}+...

Men

{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;\mathbf {v} ,\;\;{\overset {\cdot \cdot }{\ mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}

Därför kommer denna förskjutning, upp till liten tredje ordningen, att vara lika med:

{\overline {M_{i}B_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\ frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\,\tau ^{2}

Om å andra sidan bindningar påtvingas punkten , kommer dess rörelse under inverkan av en kraft och i närvaro av bindningar att vara, upp till liten tredje ordningen, lika med: ${\mathbf {F}}_{{i}}$

{\overline {M_{i}C_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;\mathbf {w} _{i}\,\tau ^{2}

var är punktens acceleration i dess faktiska rörelse. Då kommer punktens avvikelse från fri rörelse att representeras av vektorn . Det är uppenbart ${\mathbf {w}}_{{i}}$ ${\displaystyle {\overline {B_{i}C_{i)))))$

{\overline {B_{i}C_{i}}}\;=\;{\overline {M_{i}C_{i}}}-{\overline {M_{i}B_{i}} }\;=\;{\frac {1}{2}}\;\tau ^{2}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i} }{m_{i}}}\right)

upp till liten tredje ordning. Som ett mått på en punkts avvikelse från fri rörelse tog Gauss ett värde som var proportionellt mot kvadraten på avvikelsen , som han kallade tvång . Kraften för en punkt med massa har följande uttryck: ${\displaystyle {\overline {B_{i}C_{i)))))$ $mi}}$

Z_{i}\;=\;{\frac {1}{2}}\;m_{i}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}}\höger)^{2}

När vi summerar begränsningarna för alla punkter i systemet får vi:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum ))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \right)^{{2}}

Av definitionen i början av artikeln följer det för accelerationer i faktisk rörelse

\delta \,Z\;=\;0

dessutom tas variationen endast i accelerationer, medan koordinaterna och hastigheterna antas vara oförändrade. En variant av detta slag kallas en Gaussisk variation .

Betydelsen av Gauss-principen

En av de första som i hög grad uppskattade vikten av Gauss princip om minsta tvång var den enastående ryske matematikern och mekanikern M. V. Ostrogradsky , som fäste särskild vikt vid Gauss inställning till att förstå samband. I sin memoar från 1836 "Om momentana förskjutningar av ett system som är föremål för varierande förhållanden" påpekade Ostrogradsky en sådan konsekvens av Gauss-principen: trycket på anslutningarna från systemets punkter i systemets verkliga rörelse bör vara minimal jämfört med till andra kinematiskt genomförbara rörelser [6] . År 1878 gav I. I. Rakhmaninov [7] Gauss-principen en energitolkning och omformulerade den som principen om det minst förlorade arbetet [8] .

Den franske matematikern J. Bertrand beskrev Gauss-principen som "en vacker teorem som samtidigt innehåller de allmänna lagarna för jämvikt och rörelse och, uppenbarligen, det mest allmänna och eleganta uttryck som de har fått" [9] .

Principen om minsta begränsning har en mycket stor generalitet, eftersom den är tillämpbar på en mängd olika mekaniska system: konservativa och icke-konservativa, holonomiska och icke-holonomiska. Därför, i synnerhet, används det ofta [10] som en utgångspunkt för att härleda rörelseekvationerna för icke- holonomiska system . Samtidigt används Gauss-principen också direkt - i uppgifter relaterade till datorsimulering av dynamiken i system av solida kroppar (i synnerhet manipulationsrobotar ); i detta fall utförs den numeriska minimeringen av tvång med metoderna för matematisk programmering [11] .

Gauss-principen är generaliserad [12] till fallet att befria systemet från en del av begränsningarna [13] [14] , såväl som till fallet med system som begränsas av icke-ideala begränsningar, och till fallet med kontinuerliga medier [ 15] .

Se även

Bolotov, Evgeny Alexandrovich

Anteckningar

↑ Tyulina, 1979 , sid. 178.
↑ Gauss K. Om en ny allmän princip för mekanik: lör. artiklar / Ed. L. S. Polak. — M .: Fizmatgiz , 1959. — 932 sid. - S. 170-172.
↑ Moiseev, 1961 , sid. 334.
↑ Tyulina, 1979 , sid. 179-180.
↑ Markeev, 1990 , sid. 90.
↑ Moiseev, 1961 , sid. 336.
↑ Rakhmaninov I. I. Början på det minst förlorade arbetet som en allmän början på mekaniken // Izv. Kiev universitet . 1878. N:o 4. - S. 1-20.
↑ Markeev, 2000 , sid. 38-39.
↑ Pogrebyssky, 1964 , sid. 270.
↑ Golubev Yu. F. Grunderna i teoretisk mekanik. - M . : Moscows förlag. un-ta, 2000. - 719 sid. — ISBN 5-211-04244-1 . - S. 427.
↑ Vereshchagin A. F. Gauss-principen om minsta begränsning i robotaktuatorernas dynamik // Popov E. P. , Vereshchagin A. F., Zenkevich S. L. Manipulation robots: dynamics and algorithms. — M .: Nauka , 1978. — 400 sid. - S. 77-102.
↑ Markeev, 2000 , sid. 43.
↑ Bolotov E. A. Om Gauss-principen // Izv. Phys.-Matte. about-va i Kazan. un-dessa. Ser. 2 . 1916. V. 21, nr 3. - S. 99-152.
↑ Chetaev N. G. Om Gaussprincipen // Izv. Phys.-Matte. about-va i Kazan. un-dessa. Ser. 3 . 1932-1933. T. 6. - S. 68-71.
↑ Rumyantsev V.V. Om några variationsprinciper inom kontinuummekanik // Prikl. matematik. och päls. 1973. T. 37. Nummer. 6. - S. 963-973.

Litteratur

Variationsprinciper för mekanik: lör. artiklar / Ed. L. S. Polak . — M .: Fizmatgiz , 1959. — 932 sid.
Lanczos K. Mekanikens variationsprinciper . — M .: Mir , 1965. — 408 sid.
Markeev A.P. Om Gauss-principen // Samling av vetenskapliga och metodologiska artiklar. Teoretisk mekanik. Problem. 23. - M . : Moscows förlag. un-ta, 2000. - 264 sid. - S. 29-45.
Markeev A.P. Teoretisk mekanik. — M .: Nauka , 1990. — 416 sid. — ISBN 5-02-014016-3 .
Moiseev N. D. Essäer om historien om utvecklingen av mekanik. - M . : Moscows förlag. un-ta, 1961. - 478 sid.
Pogrebyssky I. B. Från Lagrange till Einstein: 1800-talets klassiska mekanik. — M .: Nauka , 1964. — 327 sid.
Tyulina I. A. Mekanikens historia och metodik. - M . : Moscows förlag. un-ta, 1979. - 282 sid.
Tsyganova N. Ya. Huvudstadierna i utvecklingen av principen om minsta tvång // Naturvetenskapens historia och metodik. - M. : MGU, 1979. - Utgåva. 9 . - S. 122-134 .