Testa statistiska hypoteser

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 maj 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Testning av statistiska hypoteser är innehållet i en av de stora problemklasserna inom matematisk statistik [1] .

Statistisk hypotes - en hypotes om typen av fördelning och egenskaper hos en slumpvariabel , som kan bekräftas eller vederläggas genom att tillämpa statistiska metoder på urvalsdata [1] .

Statistiska hypoteser

Definitioner

Antag att i ett (statistiskt) experiment finns en slumpvariabel tillgänglig för observation , vars fördelning är helt eller delvis okänd. Då kallas varje påstående om en statistisk hypotes . Hypoteser kännetecknas av typen av antaganden som finns i dem: $X$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$

En statistisk hypotes som unikt bestämmer fördelningen , det vill säga var finns någon specifik lag, kallas enkel . $\mathbb {P}$ $H:\;\{{\mathbb {P}}={\mathbb {P}}_{0}\}$ ${\mathbb {P}}_{0}$

En statistisk hypotes som säger att en distribution tillhör en viss familj av distributioner, det vill säga av formen , där är en familj av distributioner, kallas komplex . $\mathbb {P}$ $H:\;\{{\mathbb {P}}\in {\mathcal {P}}\}$ ${\mathcal {P}}$

I praktiken krävs det vanligtvis att man testar någon specifik och som regel enkel hypotes . En sådan hypotes kallas nollhypotesen . Samtidigt betraktas en hypotes som motsäger den , kallad en konkurrerande eller alternativ , parallellt . $H_{0}$ $H_1$

Den framförda hypotesen måste verifieras, vilket utförs med statistiska metoder, därför kallas hypotesen statistisk. För att testa en hypotes används kriterier för att acceptera eller förkasta hypotesen.

I de flesta fall baseras statistiska tester på ett slumpmässigt urval av en fast storlek för distribution . Vid sekventiell analys bildas provet under själva experimentet och därför är dess storlek en slumpmässig variabel (se Sekventiellt statistiskt test ). $(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})$ $n\geq 1$ ${\mathbb P}$

Exempel

Låt ett oberoende urval från en normalfördelning ges , där är en okänd parameter. Sedan , där är en fast konstant , är en enkel hypotes, och den som konkurrerar med den är en komplex. $(X_{1},\ldots ,X_{n})\sim {\mathcal {N))(\mu ,1)$ $\mu$ $H_{0}:\;\{\mu =\mu _{0}\}$ $\mu_{0}$ $H_{1}:\;\{\mu >\mu _{0}\}$

Stadier för att testa statistiska hypoteser

Formulering av huvudhypotes och konkurrerande hypotes . $H_{0}$ $H_1$
Att ställa in signifikansnivån , vid vilken slutsatsen om hypotesens giltighet i framtiden kommer att göras. Det är lika med sannolikheten att göra ett typ I-fel . $\alfa$
Beräkningen av kriteriestatistiken är sådan att: $\phi$
- dess värde beror på det initiala provet ; ${\mathbf {X}}=(X_{1},\ldots,X_{n}):\;\phi =\phi (X_{1},\ldots,X_{n})$
- genom dess värde kan man dra slutsatser om hypotesens sanning ; $H_{0}$
- statistik , som en funktion av en slumpvariabel , är också en slumpvariabel och lyder någon slags distributionslag . $\phi$ $\mathbf {X}$
Byggandet av den kritiska regionen. Från värdeintervallet urskiljs en delmängd av sådana värden, som kan användas för att bedöma betydande avvikelser med antagandet. Dess storlek är vald på ett sådant sätt att jämställdheten håller . Denna uppsättning kallas den kritiska regionen . $\phi$ ${\mathcal {C}}$ $P(\phi \in {\mathcal {C}})=\alpha$ ${\mathcal {C}}$
Slutsats om hypotesens sanning. De observerade värdena av urvalet ersätts i statistiken , och genom att slå (eller inte träffa) det kritiska området , fattas ett beslut om att förkasta (eller acceptera) den presenterade hypotesen . $\phi$ ${\mathcal {C}}$ $H_{0}$

Typer av kritisk region

Det finns tre typer av kritiska områden:

Den tvåsidiga kritiska regionen definieras av två intervall , där finns från villkoren . $(-\infty ,\;x_{{\alpha /2)))\cup (x_{{1-\alpha /2}}\;+\infty )$ $x_{{\alpha /2}},\;x_{{1-\alpha /2}}$ $P(\phi <x_{\alpha /2})={\frac {\alpha}{2)),\quad P(\phi >x_{1-\alpha /2})=1-{ \frac {\alpha }{2}}$
Den vänstra kritiska regionen bestäms av intervallet , där hittas från tillståndet . $(-\infty ,\;x_{\alpha })$ $x_{\alpha }$ $P(\phi <x_{\alpha })=\alpha$
Den högra kritiska regionen bestäms av intervallet , där hittas från tillståndet . $(x_{{1-\alpha }},\;+\infty )$ $x_{{1-\alpha}}$ $P(\phi <x_{{1-\alpha }})=1-\alpha$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Ivanovsky R. Sannolikhetsteori och matematisk statistik. Grundläggande, tillämpade aspekter med exempel och uppgifter i Mathcad-miljön. — 528 sid. - (Handledning). - ISBN 978-5-9775-0199-6 .

Litteratur

Statistisk hypotes // Stora ryska encyklopedin : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	GND : 4077852-6 NKC : ph126614