Direkt Alexandrova

Alexandrovs linje (eller lång linje ) är ett topologiskt utrymme , ett av de främsta motexemplen som används inom topologi [1] : en vanlig reell linje består av ett räknebart antal segment placerade efter varandra, och Alexandrovlinjen är byggd från en oräkneligt antal sådana segment. Byggd av Pavel Alexandrov 1924 [ 2] .

Den slutna Alexandrov-linjen definieras som den kartesiska produkten av den första oräkneliga ordinalen och halvintervallet , utrustad med ordningstopologin (det vill säga dess bas är intervallen ) inducerad av den lexikografiska ordningen på . En öppen linje erhålls genom att ta bort det minsta elementet .

Alexandrov-linjen är ekvivalent i kraft med den verkliga linjen och är ett normalt utrymme , som vilket utrymme som helst med ordningstopologin, men det har ett antal ovanliga egenskaper. I synnerhet är dess topologi icke-metriserbar , den är sekventiellt kompakt , men inte kompakt, vägansluten , lokalt ansluten och enkelt ansluten , men inte sammandragbar . Dessutom har Aleksandrov-linjen strukturen av en oskiljaktig topologisk mångfald [3] , trots att den är icke- parakompakt , och uppfyller det första räknebarhetsaxiomet , men inte det andra . På den kan man också introducera strukturen för ett differentierbart [4] och till och med analytiskt [5] grenrör.

Anteckningar

  1. ↑ Steen, Lynn Arthur. Motexempel i topologi / Lynn Arthur Steen, J. Arthur Jr. Seebach. - Dover nytryck från 1978. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1995. - S. 71–72. - ISBN 978-0-486-68735-3 .
  2. ↑ P. Alexandroff. Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume // Math. Ann. - 1924. - T. 92 . - S. 295-301 . - doi : 10.1007/BF01448011 .
  3. ↑ Vissa författare kräver att basen kan separeras och räknas i definitionen av en topologisk mångfald, se Shastri, Anant R. (2011), Elements of Differential Topology , CRC Press, sid. 122, ISBN 9781439831632 , < https://books.google.com/books?id=-BrOBQAAQBAJ&pg=PA122 >  .
  4. ↑ Nyikos, Peter J. (1992). "Olika utjämningar av den långa linan och deras tangentbuntar". Framsteg i matematik . 93 : 129-213. DOI : 10.1016/0001-8708(92)90027-I . MR  1164707 .
  5. ↑ Kneser, Hellmuth; Kneser, Martin (1960). "Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden". Archive der Mathematik . 11 :104-106. DOI : 10.1007/BF01236917 .