Pfaffians ekvation

En Pfaffisk ekvation är en ekvation av formen , där är en differential 1-form (Pfaffisk form) på tangentbunten av en mångfald av dimension . Uppkallad efter den tyske matematikern Johann Friedrich Pfaff . $\omega =0$ $\omega$ $M^{n}$ $n$

Om (lokala) koordinater introduceras på grenröret , så har den Pfaffiska ekvationen (lokalt) formen $M^{n}$ $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$

a_{1}(x)\,dx_{1}+a_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{n}(x)\,dx_{n}=0,

var är skalära funktioner definierade på . Det enklaste exemplet är en differentialekvation av första ordningen, skriven i den så kallade symmetriska formen : $a_{i}(x)$ $M^{n}$

P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0,\quad x,y\in \mathbb {R}

Pfaffian system

Ett Pfaffian-system (ett system av Pfaffian-ekvationer) är ett system av ekvationer av formen , där är differentiella 1-former på tangentbunten av en mångfald av dimension . I Pfaffiska koordinater har systemet formen $\omega _{1}=0,\omega _{2}=0,\ldots ,\omega _{m}=0$ $\omega _{i}$ $M^{n}$ $n$

$\left\{{\begin{matrix}a_{11}(x)\,dx_{1}+a_{12}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{1n}(x )\,dx_{n}&=0\\a_{21}(x)\,dx_{1}+a_{22}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{2n}(x) \,dx_{n}&=0\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\dots \dots \dots \dots \dots \ dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{m1}(x)\,dx_{1}+a_{m2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{ mn}(x)\,dx_{n}&=0.\\\end{matris}}\right.\qquad \qquad (*)$

Rangen för ett Pfaffian-system vid en punkt är siffran som är lika med rangen på matrisen . Vanligtvis händer . $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$ $r(x)$ $(a_{ij}(x))$ $r(x)<n$

Det Pfaffiska systemet (*) definierar i tangentrymden ett vektordelrum med dimension , som kallas ett tillåtet delrum vid en given punkt. Fältet med tillåtna delrum konstruerade på detta sätt kallas för distributionen som motsvarar det Pfaffiska systemet (*). I synnerhet för , är fördelningen fältet för riktningar på , för , fördelningen är fältet för tvådimensionella plan, och för , är fördelningen fältet för hyperplan . $T_{x}M^{n}$ $nr(x)$ $M^{n}$ $r(x)\equiv n-1$ $M^{n}$ $r(x)\equiv n-2$ $r(x)\equiv 1$

Pfaffiska system är en generalisering av vanliga differentialekvationer (ODE) av första ordningen: genom att välja bland koordinaterna en (till exempel ) som en "oberoende variabel" och dividera systemets ekvationer (*) med , får vi ett system med första ordningens ODE:er: $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $x_{n}$ $dx_{n}$

$\left\{{\begin{matrix}a_{11}(x)\,x_{1}'+a_{12}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{1n- 1}(x)\,x_{n-1}'+a_{1n}(x)&=0\\a_{21}(x)\,x_{1}'+a_{22}(x)\ ,x_{2}'+\cdots +a_{2n-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{2n}(x)&=0\\\dots \dots \dots \dots \ prickar \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{m1 }(x)\,x_{1}'+a_{m2}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{mn-1}(x)\,x_{n-1}'+a_ {mn}(x)&=0,\\\end{matris}}\right.\qquad \qquad (**)$

var . ${\displaystyle x_{i}'=dx_{i}/dx_{n))$

Geometriskt betyder övergången från systemet (*) till systemet (**) övergången från homogena koordinater till icke-homogena koordinater i projektiviserade tangentrum till ett grenrör . $(dx_{1},\ldots ,dx_{n})$ $M^{n}$

Integration av Pfaffian-system

Huvudproblemet som är förknippat med Pfaffian-system är att hitta deras integrerade ytor — ytor (submanifolds) av dimensioner i grenröret på vilka alla ekvationer i systemet (*) är uppfyllda. Geometriskt betyder detta att integralytan i varje punkt är tangent till det tillåtna delutrymmet som ges av systemet (*), dvs tangentutrymmet till k finns i systemets tillåtna delutrymme (*). $1,2,\ldots ,n-1$ $M^{n}$ $S$ $S$

Ett Pfaffian-system (*) med konstant rang kallas fullständigt integrerbart om en integrerad yta med största möjliga dimension passerar genom varje punkt i grenröret . $m<n$ $M^{n}$ ${\displaystyle S_{nm))$ $nm$

I ett område av vilken punkt som helst kan ett fullständigt integrerbart rangsystem reduceras till den kanoniska formen genom att välja lämpliga lokala koordinater på grenröret $m<n$ $M^{n}$

dx_{1}=0,\ dx_{2}=0,\,\ldots ,\,dx_{m}=0.

Det nödvändiga och tillräckliga villkoret för fullständig integrerbarhet ges av Frobenius-satsen . Såsom tillämpat på Pfaffian-systemet (*), kan detta villkor uttryckas på följande sätt:

\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{m}\wedge d\omega _{i}=0\quad \ i=1,\ldots ,m,\qquad \qquad (* **)

där betecknar den yttre differentialen för 1-formen och betecknar den yttre produkten av formerna. ${\displaystyle d\omega _{i))$ $\kil$

Exempel

Pfaffian-ekvationen är fullständigt integrerbar: dess integrerade ytor är plan i tredimensionellt rymd. Med hjälp av en ersättning reduceras denna ekvation till den kanoniska formen Villkor (***) i Frobenius-satsen är uppenbarligen uppfyllt i detta fall, eftersom $\omega =dx_{1}+dx_{2}+dx_{3}=0$ $x_{1}+x_{2}+x_{3}=c$ ${\tilde {x}}_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}$ $d{\tilde {x}}_{1}=0.$ $d\omega =0.$

Pfaffians ekvation är inte helt integrerad. I det här fallet är villkoret (***) för Frobenius-satsen inte heller uppfyllt: $\omega =x_{3}\,dx_{1}+dx_{2}=0$ ${\displaystyle d\omega =dx_{3}\wedge dx_{1))$

\omega \wedge d\omega =(x_{3}\,dx_{1}+dx_{2})\wedge (dx_{3}\wedge dx_{1})=dx_{1}\wedge dx_ {2}\wedge dx_{3}\neq 0.

Se även

Litteratur

Rashevsky P.K. Geometrisk teori för partiella differentialekvationer, - Vilken utgåva som helst.
Stepanov V.V. Kurs för differentialekvationer, - Vilken utgåva som helst.