Radikal axel av två cirklar

Den radikala axeln för två cirklar är platsen för punkter vars grader med avseende på två givna cirklar är lika. Med andra ord är längderna av fyra tangenter som dras till två givna cirklar från vilken punkt M som helst på ett givet punkter lika.

Den radikala axeln för två cirklar existerar om och endast om cirklarna är icke-koncentriska, och kan definieras både för cirklar och för punkter (cirklar med noll radie) och imaginära cirklar (imaginär radie).

Egenskaper för den radikala axeln

Den radikala axeln är rak. Eftersom graden av punkten med avseende på cirkeln är där koefficienterna A, B och C bestäms i termer av koordinaterna för centrum och cirkelns radie, då, genom att likställa graderna av punkten med avseende på två cirklar får vi och detta är ekvationen för en rät linje. Det finns också ett bevis på detta faktum med endast geometriska metoder. $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C,$ $x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=x^{2}+y^{2}+A_{2}x+ B_ {2}y+C_{2}\Leftrightarrow (A_{1}-A_{2})x+(B_{1}-B_{2})y+(C_{1}-C_{2})=0,$
Radikalaxeln är vinkelrät mot centrumlinjen, vilket följer av båda cirklarnas symmetri kring centrumlinjen.
Om P är en punkt på den radikala axeln, så är längderna på tangenterna från punkten P till båda cirklarna lika - detta följer av det faktum att punktens grad är lika med kvadraten på tangentsegmentets längd. I synnerhet delar den radikala axeln segmenten av de gemensamma tangenterna.

Om cirklarna skär varandra i två punkter, kommer deras radikalaxel att vara en rät linje som går genom dessa punkter, om de berör externt, då kommer den gemensamma inre tangenten att vara den radikala axeln, om den är intern, då den gemensamma tangenten (den enda) .

Om linjerna som innehåller ackorden och de första och andra cirklarna skär varandra på den radikala axeln, är fyrhörningen inskriven . Detta är lätt att bevisa: låt vara skärningspunkten. Genom egenskapen för graden av en punkt är den lika med och eftersom P ligger på den radikala axeln, då är den lika med och Eftersom punkterna och ligger på samma cirkel. Det omvända är också sant: om två cirklar skärs av tertsen så att det är det gemensamma ackordet för ettan och tertsen, och är det gemensamma ackordet för tvåan och tertsen, så kommer linjerna AB och CD att skära varandra på den radikala axeln av de två första cirklarna dessutom i de tre cirklarnas så kallade radikala centrum (se . nedan). Konstruktionen av den radikala axeln med en kompass och en linjal baseras på denna egenskap: vi konstruerar en cirkel som skär två givna data i fyra punkter, och sedan släpper vi en vinkelrät från deras radikala centrum till centrumlinjen. $AB$ $CD$ $ABCD$ $P$ $PA\cdot PB,$ $PC\cdot PD.$ $PA\cdot PB=PC\cdot PD,$ $A,B,C$ $D$ $AB$ $CD$

De radikala axlarna i tre cirklar med icke-kollinjära centra skär varandra vid en punkt, kallad det radikala centret . Låt vara cirklar och låt vara skärningspunkten för den radikala axeln av cirklarna och med den radikala axeln av cirklarna och . Om är graden av en punkt med avseende på cirkeln , så ligger per definition av den radikala axeln och punkten på den radikala axeln av cirklarna och ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3))$ $P$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle \Omega _{3))$ ${\mathfrak {P}}(\omega ,A)$ $A$ $\omega,$ ${\mathfrak {P}}(\Omega _{1},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{2},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _ {3},P),$ $P$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ $\Omega _{3}.$
Platsen för cirklars centrum vinkelrät mot två givna data är deras radikala axel med det gemensamma ackordet uteslutet (om någon). Se fig.

Antihomologa ackord[ förtydliga ] två cirklar skär varandra på sin radikala axel (uppenbarligen menar vi två ackord som passerar genom två par antihomotetiska punkter av två cirklar, se figuren nedan).
Låta vara en fyrhörning, linjer och skär vid , och - vid . Då cirklarna byggda på segmenten , och , som på diametrar, har en gemensam radikal axel, på vilken ligger skärningspunkterna för höjderna av trianglarna , , och ( Auber-Steiner linje ). $ABCD$ $AB$ $CD$ $F$ $före Kristus$ $AD$ $E$ $AC$ $BD$ $EF$ $ABE$ $CDE$ $BCF$ $ADF$

Ortogonalitet

Två cirklar som skär varandra i räta vinklar kallas ortogonala . Cirklar kan betraktas som ortogonala om de bildar en rät vinkel med varandra.
Två cirklar som skär varandra i punkterna A och B med centrum O och O' kallas ortogonala om de är räta vinklar OAO' och OBO' . Det är detta tillstånd som garanterar en rät vinkel mellan cirklarna. I detta fall är radierna (normalerna) för de två cirklarna som dras till skärningspunkten vinkelräta. Därför är tangenterna för två cirklar som dras till skärningspunkten också vinkelräta. Cirkelns tangent är vinkelrät mot radien (normal) som dras till kontaktpunkten. Vanligtvis är vinkeln mellan kurvorna vinkeln mellan deras tangenter ritade vid skärningspunkten.
Det kan finnas ytterligare ett ytterligare villkor. Låt två cirklar som skär varandra i punkterna A och B ha mittpunkter för skärande bågar i punkterna C och D , det vill säga bågen AC är lika med bågen CB , bågen AD är lika med bågen DB . Då kallas dessa cirklar ortogonala om de är räta vinklar СAD och СBD .

Konsekvenser från egenskaperna hos den radikala axeln

På en rät linje som går genom tangenspunkterna för två cirklar i en triangel med två av dess sidor, skär dessa cirklar av lika segment.
Det senare kan formuleras enligt följande. Om 2 excirklar av en triangel vidrör 2 av dess olika sidor och 2 av deras förlängningar vid 4 tangentpunkter, så är fyrkanten som bildas av de sista 4 punkterna som hörn en likbent trapets med 2 laterala sidor lika, och även 2 diagonaler (tangenter till 2 cirklar).
Diagonalerna för en hexagon omskriven kring en cirkel som förbinder motsatta hörn skär varandra vid en punkt ( Brianchons sats för en cirkel).

Länkar

Wikimedia Commons har media relaterade till Radikal axel av två cirklar

Se även

radikalt centrum