Enkel kategori

En enkel kategori (även simplexkategori , ordningskategori ) [1] är en kategori av icke-tomma ändliga ordinaler vars morfismer är monotona funktioner . Det spelar en viktig roll i algebraisk topologi [2] och är grunden för sådana konstruktioner som det enkla objektet och det enkla uppsättningen .

En enkel kategori (ibland används beteckningen [3] ) är konstruerad från objekt av formen , där är ett naturligt tal , och morfismer sådana som följer av . Med andra ord, objekten i den förenklade kategorin är de finita ordningstalen , och morfismerna är icke strikt monotona funktioner mellan dem. Ordinalet är det initiala objektet för kategorin och är terminalen . $\Delta$ $\mathbf {Ord}$ ${\displaystyle [n]=\{0,1,\dots ,n\))$ $n$ $f:[n]\to [n']$ $i\leqslant j$ $f(i)\leqslant f(j)$ $[0]$ $[1]$

Egenskaper

Varje morfism av en enkel kategori kan genereras av en sammansättning av morfismer [4] ( ): $0\leqslant i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}:[n-1]\till [n]

\sigma _{i}^{n}:[n+1]\till [n]

definieras enligt följande:

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}

(ökande injektiv kartläggning, "läcker" ),

i

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}

(en icke-minskande surjektiv mappning som tar ett värde två gånger).

i

Dessutom finns det en unik representation för alla: $f\in \mathrm {Hom} _{\Delta }([m],[n])$

f=\delta _{i_{s}}^{n}\delta _{i_{s-1}}^{n-1}\dots \delta _{i_{1}}^{n- s+1}\sigma _{j_{t}}^{mt}\dots \sigma _{j_{2}}^{m-2}\sigma _{j_{1}}^{m-1}

var , , . $0\leqslant i_{1}<\dots <i_{s}\leqslant n$ $0\leqslant j_{t}<\dots <j_{1}<m$ $n=m-t+s$

Dessa morfismer uppfyller följande relationer:

\delta _{j}^{n+1}\delta _{i}^{n}=\delta _{i}^{n+1}\delta _{j-1}^{n}

, om ,

i<j

\sigma _{j}^{n}\sigma _{i}^{n+1}=\sigma _{i}^{n}\sigma _{j+1}^{i+1}

, om ,

i\leqslant j

\sigma _{j}^{n-1}\delta _{i}^{n}={\begin{cases}\delta _{i}^{n-1}\sigma _{j- 1}^{n-2},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{[n-1]},&i=j\,\vee \,i=j+1\\\delta _{ i-1}^{n-1}\sigma _{j}^{n-2},&i>j+1\end{cases}}

Dessa relationer bestämmer unikt morfismerna och . $\delta$ $\sigma$

Relaterade definitioner

Ordinal addition är en bifunctor definierad på ordningstal som vanlig addition: $+:\Delta \times \Delta \to \Delta$

[n]+[n']=[n+n']

och för morfismer och enligt följande schema: $f:[n]\to [n']$ $g:[m]\to [m']$

(f+g)(i)={\begin{cases}f(i),&0\leqslant i\leqslant n-1\\n'+g(in),&n\leqslant i\leqslant n+ m -1\end{cases}}

En enkel kategori med ordningsaddition bildar en strikt monoidal kategori .

Applikationer använder också en utökad förenklad kategori , en förenklad kategori kompletterad med en ordinal : . Ibland kallas en förstärkt förenklad kategori för en algebraisk enkel kategori , i vilket fall den kallas en topologisk . ${\displaystyle \Delta _{+))$ $[-1]=\varnothing$ $\Delta _{+}=\Delta \cup [-1]$ $\Delta$

Anteckningar

↑ Ibland kallas ett förenklat objekt från kategorin små kategorier för en enkel kategori . Dessutom kallas ibland förenklat berikade kategorier på samma sätt - kategorier berikade över kategorin för enkla uppsättningar . Om det finns en term "enkel kategori" för i sammanhanget av sådana konstruktioner försöker de undvika att använda alternativa termer eller endast en beteckning. $\Delta$
↑ McLane, 2004 , sid. 204.
↑ Hur ofta betecknas också kategorin för alla linjärt ordnade uppsättningar där den förenklade kategorin är en komplett underkategori $\mathbf {Ord}$
↑ Simplicial objekt - Encyclopedia of Mathematics artikel . S. N. Malygin, M. M. Postnikov

Litteratur

McLane S. Kapitel 7. Monoider // Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Gabriel P., Tsisman M. Kategorier av bråk och homotopi teori = Bråkräkning och Homotopi teori / Översatt från engelska av M. M. Postnikova . - M .: Mir , 1971. - S. 69-72. — 296 sid.