System av simultane ekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 november 2018; kontroller kräver 3 redigeringar .

Ett system med samtidiga ekvationer är en uppsättning ekonometriska ekvationer (ofta linjära ) som bestämmer det ömsesidiga beroendet mellan ekonomiska variabler. Ett viktigt särdrag hos systemet med "samtidiga" ekvationer från andra ekvationssystem är närvaron av samma variabler i höger och vänster del av olika ekvationer i systemet (vi talar om modellens så kallade strukturella form , se nedan).

Variabler kallas endogena, vars värden bestäms under det studerade ekonomiska systemets funktion. Deras värden bestäms "samtidigt" baserat på värdena för vissa exogena variabler, vars värden bestäms utanför modellen, sätts utifrån. I system med samtidiga ekvationer beror endogena variabler på både exogena och endogena variabler.

Mätning av stramheten i sambandet mellan variabler, konstruktionen av isolerade regressionsekvationer är inte tillräckligt för att förklara hur komplexa ekonomiska system fungerar. En förändring i en variabel kan inte ske medan de andra förblir absolut oförändrade. Dess förändring kommer att medföra förändringar i hela systemet av sammanhängande funktioner. Således kan en enda regressionsekvation inte karakterisera det verkliga inflytandet av individuella egenskaper på variationen av den resulterande variabeln. Inom ekonomisk forskning har därför problemet med att beskriva strukturen av samband mellan ett system av variabler tagit en viktig plats.

Strukturell och reducerad form. Identifierbarhet

Den strukturella formen av ett system är en systemrepresentation där mer än en endogen variabel kan finnas i ekvationerna (i standardnotation betyder det att det finns endogena variabler på höger sida av ekvationerna, det vill säga som regressorer). Systemets strukturella form beskriver systemet med ömsesidigt beroende mellan ekonomiska variabler.

${\begin{cases}y_{1t}=\summa _{(i\not =1)}a_{1i}y_{it}+\summa _{j=1}^{q}b_{1j }x_{jt}+\varepsilon _{1t}\\y_{2t}=\summa _{(i\not =2)}a_{2i}y_{it}+\summa _{j=1}^{ q}b_{2j}x_{jt}+\varepsilon _{2t}\\...\\y_{pt}=\summa _{(i\not =p)}a_{pi}y_{it}+ \sum _{j=1}^{q}b_{pj}x_{jt}+\varepsilon _{pt}\\\end{cases}}$

Genom att överföra de endogena variablerna till vänster sida kan strukturformen representeras i följande matrisform

$YA=XB+E$

Den reducerade (prediktiva) formen av systemet är representationen av systemet, där varje ekvation bara har en endogen variabel, det vill säga endogena variabler uttrycks genom exogena:

$Y=X\Pi+U$

Detta är den så kallade oinskränkta reducerade formen. Strukturformen kan skrivas på följande sätt:

$Y=XBA^{-1}+EA^{-1}$

Detta är den så kallade begränsade reducerade formen, det vill säga en reducerad form med en begränsning av koefficienterna för följande form: . $\Pi =BA^{-1}$

Om en strukturell form ges är det alltid möjligt att få en begränsad reducerad form (det antas att matrisen A är icke degenererad). Det motsatta är dock inte alltid möjligt, och om möjligt är det inte alltid entydigt.

En strukturell ekvation kallas identifierbar om dess koefficienter kan uttryckas i termer av koefficienterna för den reducerade formen. Om detta kan göras på ett enda sätt, så säger de om exakt identifierbarhet , om på flera sätt - om överidentifierbarhet . Annars kallas det oidentifierbart. Överidentifiering innebär faktiskt att vissa restriktioner (överidentifiering) läggs på koefficienterna för den reducerade formen. I den fullständigt reducerade formen är alla exogena variabler inblandade och inga restriktioner läggs på koefficienterna.

Ett nödvändigt villkor för identifierbarheten av en strukturell ekvation ( ordinalvillkor ): antalet variabler på höger sida av ekvationen får inte överstiga antalet av alla exogena variabler i systemet . I den kanoniska formen (när det inte finns några "vänster" och "höger" delar) formuleras detta villkor ibland på följande sätt: antalet exogena variabler som exkluderas från den givna ekvationen får inte vara mindre än antalet endogena variabler som ingår i ekvation minus ett. Om detta villkor inte är uppfyllt är ekvationen oidentifierbar. Om det utförs med ett likhetstecken är det förmodligen positivt identifierbart, annars är det överidentifierbart.

Ett tillräckligt villkor för identifierbarheten av en strukturell ekvation: rangordningen av matrisen som består av koefficienter (i andra ekvationer) för variabler som saknas i denna ekvation är inte mindre än det totala antalet endogena variabler i systemet minus en.

Exempel

Den enklaste makroekonomiska (keynesianska) modellen

${\begin{cases}C_{t}=a+bY_{t}+\varepsilon _{t}\\Y_{t}=C_{t}+I_{t}\end{cases))$

Här är C och Y konsumtion (konsumtionsutgifter) och inkomst är endogena variabler i modellen, I är investeringar en exogen variabel i modellen, b är den marginella benägenheten att konsumera

Den givna formen av modellen ser ut som:

${\begin{cases}C_{t}=a/(1-b)+b/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0 }+(m-1)I_{t}+u_{t}=\pi _{11}+\pi _{12}I_{t}+u_{t}\\Y_{t}=a/(1 -b)+1/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0}+mI_{t}+u_{t}=\pi _{21} +\pi _{22}I_{t}+u_{t}\end{cases}}$

Värdet kallas investeringsmultiplikatorn (en enhetsökning av investeringar leder till en betydligt större förändring av inkomsten). $m=1/(1-b)$

Man kan kontrollera det ordinarie identifierbarhetsvillkoret. I den första ekvationen på höger sida finns det 1 endogen variabel och inga exogena variabler (om man ignorerar konstanten). Det finns 1 exogen variabel i modellen (också utan konstant). Således är det ordinarie (nödvändiga) villkoret för identifierbarhet uppfyllt.

Det kan ses att den reducerade formen är begränsad med två begränsningar och . $\pi _{11}=\pi _{21}$ $\pi _{22}-\pi _{12}=1$

Rekursiva ekvationssystem

Ett specialfall av system med samtidiga ekvationer är de så kallade. rekursiva system , där matrisen av koefficienter för endogena variabler är triangulär (vanligtvis lägre triangulär). Detta betyder att i den första ekvationen uttrycks en endogen variabel endast genom exogena. I den andra, den andra endogen genom exogen och, möjligen, genom den första endogen. Den tredje - genom exogena och genom de två första endogena, etc. En sådan modell sägs vara rent rekursiv om dessutom de slumpmässiga felen i de olika ekvationerna är okorrelerade.

Metoder för att uppskatta system av samtidiga ekvationer

Den direkta tillämpningen av den vanliga minsta kvadratmetoden för att uppskatta ekvationerna för ett system (i strukturell form) är olämplig, eftersom i system med simultana ekvationer kränks det viktigaste villkoret för regressionsanalys, exogeniteten hos faktorer. Detta leder till att parameteruppskattningar är partiska och inkonsekventa .

Indirekt minsta kvadrater

Den vanliga minsta kvadratmetoden kan tillämpas på den reducerade formen av systemet, eftersom alla faktorer i denna form antas vara exogena. Kärnan i den indirekta metoden för minsta kvadrater ( KMNK , ILS ) är att uppskatta de strukturella koefficienterna genom att i det analytiska uttrycket ersätta deras beroende av de givna uppskattningarna av de senare, erhållna med den vanliga metoden för minsta kvadrater. De erhållna uppskattningarna kommer att vara konsekventa.

Användningen av den indirekta metoden med minsta kvadrater är endast möjlig om systemet är exakt identifierbart. Men ofta är systemets ekvationer överidentifierade. I detta fall finns det flera asymptotiskt ekvivalenta men olika uppskattningar av de strukturella formparametrarna, och i det allmänna fallet finns det inget kriterium för att välja mellan dem.

Tvåstegs minsta kvadrater

Kärnan i minsta kvadratmetoden i två steg ( DMLS , TSLS , 2SLS ) är följande:

Steg 1. Beroendet av endogena variabler på alla exogena variabler uppskattas med den vanliga minsta kvadratmetoden (i själva verket uppskattas den obegränsade reducerade formen).

Steg 2. Modellens strukturella form uppskattas med den vanliga minsta kvadratmetoden, där istället för endogena variabler används deras uppskattningar som erhållits vid det första steget.

Med exakt identifierbarhet av systemet sammanfaller LSLS-uppskattningarna med LSLS-uppskattningarna.

Det kan visas att LSSM-uppskattningarna av parametrarna för varje ekvation faktiskt är lika:

${\hat {\beta }}_{TSLS}=(Z^{T}WZ)^{-1}Z^{T}WY~,~~W=X(X^{T}X) ^{-1}X^{T}$

där Z är matrisen för alla variabler på höger sida av denna ekvation, X är matrisen för alla exogena variabler i systemet.

Trestegs OLS

I minsta kvadratmetoden i två steg utvärderas faktiskt varje ekvation i strukturformen oberoende av andra ekvationer, det vill säga det möjliga förhållandet mellan slumpmässiga fel i strukturformens ekvationer tas inte med i beräkningen. I trestegsmetoden med minsta kvadrater ( TMLS , 3SLS ) är de två första stegen samma som LSLS och lägg till:

Steg 3. På basis av LMNC-uppskattningar av resterna av strukturekvationer erhålls en uppskattning av kovariansmatrisen för vektorn av slumpmässiga fel i systemet och med dess hjälp erhålls en ny uppskattning av koefficienterna med hjälp av de generaliserade minsta kvadraterna metod .

Om det finns korrelationer mellan ekvationerna bör LSLS-uppskattningarna teoretiskt sett vara bättre än LSLS-uppskattningarna.

Maximal likelihood metoder

Full Information Maximum Likelihood Method ( FIML ) är en metod som använder all information om begränsningarna på modellens reducerade form.

' Begränsad information Maximum Likelihood Method ( LIML , Least Dispersion Ratio Method ) är utformad för att uppskatta en enstaka ekvation för ett system. De återstående ekvationerna utvärderas endast i den utsträckning som är nödvändig för att utvärdera den givna ekvationen. Den första utvärderas i en strukturell form, resten i en obegränsad reducerad form, det vill säga att inte all tillgänglig information används i utvärderingen. Denna metod reduceras till att hitta minimiegenvärdet för en viss symmetrisk matris.

Testa system av samtidiga ekvationer

Testa för att överidentifiera begränsningar

För att testa överidentifierande begränsningar kan man använda ett sannolikhetskvotstest med en statistik som har en fördelning med antalet frihetsgrader lika med antalet begränsningar. Systemets koncentrerade logaritmiska sannolikhetsfunktioner upp till en konstant har formen: $LR=2(l_{c}^{L}-l_{c}^{S})$ $\chi ^{2}$

$l_{c}=-{\frac {n}{2}}\ln |(YX\Pi )^{T}(YX\Pi )|$

där för en lång modell är inte begränsad, men för en kort . $\Pi$ $\Pi =BA^{-1}$

Anteckningar

Se även

Litteratur

Ayvazyan S.A. Tillämpad statistik. Grunderna i ekonometri. Volym 2. - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 sid. - ISBN 5-238-00305-6 .
Kremer N.Sh., Putko B.A. Ekonometri. - M . : Unity-Dana, 2003-2004. — 311 sid. — ISBN 8-86225-458-7 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometri. Inledande kurs. - M . : Delo, 2007. - 504 sid. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ekonometri. Lärobok / Ed. Eliseeva I.I. - 2:a uppl. - M. : Finans och statistik, 2006. - 576 sid. — ISBN 5-279-02786-3 .

Själva termen "system av samtidiga ekvationer" är felaktig. Och vad, det finns olika tidsekvationer? Det faktum att detta analfabeter från det engelska språket har spridits genom rysk litteratur (och till och med ekonometriska läroböcker) kan inte tjäna som en ursäkt. Det räcker att titta i vilken engelsk-rysk matematisk ordbok som helst för att se att "simutana ekvationer" översätts som "ekvationssystem". Innebörden av adjektivet "simutan" i den engelska termen är att dessa ekvationer måste lösas samtidigt, och inte separat (och inte alls att dessa ekvationer är "samtidiga").