Galois korrespondens

Galois-överensstämmelse ( Galois- koppling ) är en ordningsteoretisk relation mellan två matematiska strukturer , svagare än isomorfism , som generaliserar kopplingen från Galois-teorin mellan underfält av en förlängning och ett inklusionsordnat system av undergrupper av motsvarande Galois-grupp . Begreppet kan utökas till vilken struktur som helst som har en förbeställningsrelation .

Konceptet introducerades av Garrett Birkhoff 1940 , och han och Oystin Ore etablerade de grundläggande egenskaperna på 1940 -talet [1] . Den initiala definitionen är antimonoton , senare i både allmän algebra och tillämpningar började den monotona definitionen , alternativ och dubbel till den i kategoriteoretisk mening , användas oftare .

Galois-förslutning är en operation som är en förslutning som bildas av sammansättningen av komponenterna i Galois-korrespondensen; i det antimonotona fallet bildar båda möjliga sammansättningarna av korrespondensfunktionerna stängningar, i det monotona fallet endast en av sådana sammansättningar.

Galois-korrespondensen används ofta i applikationer, i synnerhet spelar den en grundläggande roll i analysen av formella begrepp (metod för att analysera data med hjälp av gitterteori ).

Antimonotone Galois korrespondens

Antimonotondefinitionen gavs ursprungligen av Birkhoff och motsvarar direkt sambandet i Galois teori. Enligt denna definition kallas alla funktionspar och mellan partiellt ordnade uppsättningar och som uppfyller följande relationer en Galois-korrespondens: $\varphi :A\to B$ $\psi :B\to A$ $A$ $B$

om , då (antimonotonicitet ), $a\leqslant a'$ $\varphi (a)\geqslant \varphi (a')$ $\varphi$
om , då (antimonotonicitet ), $b\leqslant b'$ $\psi (b)\geqslant \psi (b')$ $\psi$
$\psi (\varphi (a))\geqslant a$ (förlängning ), $\psi \circ \varphi$
$\varphi (\psi (b))\geqslant b$ (förlängning ). $\varphi \circ \psi$

Kompositionerna och visar sig vara monotona och har även den idempotenta egenskapen ( och ), alltså är de stängningar på resp . $\psi \circ \varphi$ $\varphi \circ \psi$ $(\psi \circ \varphi )\circ (\psi \circ \varphi )=\psi \circ \varphi$ $(\varphi \circ \psi )\circ (\varphi \circ \psi )=\varphi \circ \psi$ $B$ $A$

Definitionen av en antimonotone Galois-överensstämmelse för antimonotone funktioner och följande villkor ( Jürgen Schmidt , 1953 [2] [3] ): om och endast om . $\varphi$ $\psi$ $b\leqslant \varphi (a)$ $a\leqslant \psi (b)$

I analogi med polärer i analytisk geometri kallas funktioner relaterade av den antimonotone Galois-överensstämmelsen för polariteter [4] .

Monotonisk Galois-korrespondens

Monotone funktioner och är i monoton Galois-korrespondens om följande villkor är uppfyllda: $\gamma :A\till B$ $\delta :B\to A$

$\gamma (\delta (b))\geqslant b$ ,
$\delta (\gamma (a))\leqslant a$ .

Motsvarar denna definition är uppfyllandet av ett villkor som är dubbelt mot Schmidt-villkoret för antimonotonvarianten: om och endast om , det tas ofta som den initiala definitionen [5] . $b\leqslant \gamma (a)$ $\delta (b)\leqslant a$

När det gäller en monoton Galois-korrespondens talar man också om konjugationen av funktioner, eftersom i kategoriteorin en sådan överensstämmelse ger adjunktfunktioner . I motsats till den antimonotona formen, där komponenterna i överensstämmelsen ( polariteten ) är symmetriska, i den monotona överensstämmelsen urskiljs den övre konjugerade funktionen - vars värden deltar i tillståndet till höger i ordningsrelationerna (i denna definition - , och det nedre konjugatet - vars värden deltar i ordningsrelationerna från villkoret till vänster ( ) Ibland sägs den nedre adjointfunktionen vara skew- adjoint (i vilket fall den övre kallas helt enkelt "adjoint"). $\gamma$ $\delta$

Stängningsoperatorn i den monotona Galois-korrespondensen är kompositionen , medan kompositionen inte är en stängning, så istället för att vara omfattande, är det omvända villkoret uppfyllt för den (en funktion med en sådan uppsättning egenskaper kallas ibland en nukleär operatör [6 ] eller en samförslutning). $\delta \circ \gamma$ $\gamma \circ \delta$

Adjoint functors

Vilken poset som helst kan betraktas som en kategori där för varje par av objekt uppsättningen av morfism består av en enda morfism om och är tom annars. För kategorier som genereras på detta sätt från delvis ordnade uppsättningar och , är mappningar och , som är i en monoton Galois-korrespondens, adjoint functors . $(A,\leqslant )$ $a,a'\in A$ $\mathrm {Hom} (a,a')$ $a\leqslant a'$ $A$ $B$ $\gamma :A\till B$ $\delta :B\to A$

Konjugatfunktionerna är också avbildningarna och ( är en kategori dual to , det vill säga erhållen genom inversion av morfismer), som finns i den antimonotone Galois-överensstämmelsen [7] . $\varphi :A\to B^{\mathrm {op} }$ $\psi :B\to A^{\mathrm {op} }$ ${\displaystyle A^{\mathrm {op} ))$ $A$

Egenskaper

Sammansättning av korrespondenser

Galois-korrespondensen, både i antimonoton och monoton form, kan utsättas för kompositionsoperationen - om par av mappningar och ges i Galois-korrespondensen , är sammansättningen: $(\varphi _{1}:A\to B,\psi _{1}:B\to A)$ $(\varphi _{2}:B\to C,\psi _{2}:C\to B$

(\varphi _{2},\psi _{2})\circ (\varphi _{1},\psi _{1})=(\varphi _{2}\circ \varphi _{1 },\psi _{1}\circ \psi _{2})

är återigen Galois korrespondens.

Exempel

Galois teori och generaliseringar

I Galois-teorin etableras en överensstämmelse mellan systemet av mellanliggande delfält av en algebraisk förlängning av ett fält och systemet av undergrupper av Galois-gruppen i denna förlängning. $L\supset K$

Ett exempel från Galois-teorin kan naturligt generaliseras: istället för automorfismgruppen i ett fält kan man överväga en godtycklig grupp , som verkar på mappningsuppsättningen , och mappningar mellan inklusionsordnade booleaner och . I det här fallet definieras mappningarna och , enligt följande: $G$ $U$ $\cdot :G\times U\to U$ ${\mathcal {P}}U$ ${\mathcal {P}}G$ $\varphi :{\mathcal {P}}U\to {\mathcal {P}}G$ $\psi :{\mathcal {P}}G\to {\mathcal {P}}U$

{\displaystyle \varphi (X)=\{\sigma \mid u\in X\Rightarrow \sigma \cdot u=u\))

(väljer en undergrupp i , och lämnar alla punkter på plats under åtgärden ),

G

u\in X

\cdot

\psi (S)=\{u\mid \sigma \in S\Rightarrow \sigma \cdot u=u\}

(associerar till uppsättningen uppsättningen av fasta punkter av automorfismer under åtgärden )

S\subseteq G

\cdot

finns i antimonotone Galois-korrespondensen [7] .

Följande generalisering består i att överväga godtyckliga uppsättningar mellan vilka en godtycklig binär relation ges och mappningar mellan booleanerna för dessa uppsättningar och , definierade på detta sätt: $\star \subseteq A\times B$ ${\mathcal {P}}A$ ${\mathcal {P}}B$

\varphi (X)=\{y\in B\mid \forall (x\in X)x\star y\}

\psi (Y)=\{x\in A\mid \forall (y\in Y)x\star y\}

I detta fall, och är också i antimonotone Galois korrespondens. $\varphi$ $\psi$

Boolean och generaliseringar

En inklusionsordnad Boolean av en godtycklig uppsättning och någon fast delmängd av den kan associeras med en monoton Galois-överensstämmelse mellan mappningar definierade enligt följande: ${\mathcal {P}}A$ $F\subseteq A$ $\varphi ,\psi :{\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}A$

\varphi (X)=F\cap X

\psi (X)=X\cup (A\setminus F)

En sådan relation kan etableras i vilken Heyting-algebra som helst , i synnerhet i vilken boolesk algebra som helst (i booleska algebra i termer av logikens algebra spelas rollen för den övre konjugatfunktionen av konjunktionen , och den nedre konjugaten av den materiella innebörden ).

Kompletta galler

Anteckningar

↑ Gretzer, 1981 , sid. 78.
↑ J. Schmidt. Beitrage zur Filtertheorie. II (tyska) // Mathematische Nachrichten . - 1953. - Bd. 10 , nej. 53 . - S. 197-232 .
↑ Birkhoff, 1984 , sid. 165.
↑ Birkhoff, 1984 , sid. 163.
↑ Giertz, 2003 , sid. 22.
↑ Giertz, 2003 , sid. 26.
↑ 1 2 McLane, 2004 , sid. 114.

Litteratur

Birkhoff G. Gitterteori . — M .: Nauka , 1984. — 567 sid.
G. Gierz, K.H. Hofmann, K. Keimel, J.D. Lawson, M. Mislow, D.S. Scott . Galois-anslutningar // Kontinuerliga gitter och domäner. - Cambridge: Cambridge University Press , 2003. - S. 22-35. — 629 sid. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 93).
Gretzer G. Allmän teori om gitter. — M .: Mir , 1981. — 456 sid.
McLane S. Kapitel 4. Adjoint functors // Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Øystein Malm. Galois Connexions (engelska) // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - Vol. 55 . - s. 493-513 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0010555-7 .