Standard display

Standardkartan , även känd som Chirikov - standardkartan och Chirikov - Taylor-kartan , är en icke-linjär (volymbevarande) karta för två kanoniska variabler, ( momentum och koordinater). Kartläggningen är känd för sina kaotiska egenskaper, som först undersöktes [1] av Boris Chirikov 1969 . $(p,\;x)$

Kartläggningen ges av följande iterativa ekvationer:

{\begin{array}{lcr}{p}_{n+1}=p_{n}+K\sin x_{n},\\{x}_{n+1}=x_{n }+p_{n+1},\end{array}}

där parametern styr systemets slumpmässighet. $K$

Rotatormodell

Standardkartläggningen beskriver rörelsen hos en klassisk rotator - en fast stång, som inte påverkas av tyngdkraften och som roterar utan friktion i ett plan runt en axel som går genom en av dess ändar. Rotatorn utsätts också för stötar av oändligt kort varaktighet, periodiska i tid (med en period på en), orsakade av en yttre kraft. Variabler och motsvarar rotationsvinkeln för rotatorn och dess rörelsemängd efter det -e nedslaget. Parametern beskriver slagkraften. Rotatorns Hamiltonfunktion kan skrivas som: $x_{n}$ $p_n$ $n$ $K$

H={\frac {p^{2}}{2}}+K\delta _{Per}(t)\cos x,

där funktionen är en periodisk funktion med perioden 1, på en period sammanfaller den med Dirac δ-funktionen . Från ovanstående Hamilton-funktion erhålls standardmappningen elementärt. $\delta _{Per}(t)$

Egenskaper

För fallet är kartläggningen linjär, så det finns bara periodiska och kvasi-periodiska banor. När kartläggningen blir olinjär, enligt KAM-satsen , förstörs invarianta tori och stokastiska lager rör sig, där dynamiken är kaotisk. Tillväxten leder till en ökning av kaosregionerna på fasplanet . På grund av funktionens periodicitet kan systemets dynamik betraktas på en cylinder [taking ] eller på en torus [taking ]. $K=0$ $K\neq 0$ $K$ $(x,\;p)$ $\sin(x)$ $x\;{\bmod {\;}}(2\pi )$ $(x,\;p)\;{\bmod {\;))(2\pi )$

Stationära visningspunkter bestäms utifrån tillståndet . På intervallet , sådana punkter är och (på grund av symmetri av fasplanet av systemet under inversion med avseende på punkten , de stationära punkterna och kan ignoreras). $(x_{n},\;p_{n})=(x_{n+1},\;p_{n+1})$ $x\in [0,\;2\pi ]$ $p\in [0,\;2\pi ]$ $(0,\;0)$ $(\pi ,\;0)$ $(x_{n},\;p_{n})$ $(\pi ,\;\pi )$ $(0,\;\pi )$ $(\pi ,\;\pi )$

Analysen av mappningens linjära stabilitet reduceras till analysen av ekvationssystemet

\left[{\begin{array}{c}\delta x_{n+1}\\\delta p_{n+1}\end{array}}\right]={\hat {M}} \left[{\begin{array}{c}\delta x_{n}\\\delta p_{n}\end{array}}\right],

{\hat {M}}=\left[{\begin{array}{cc}1&1+K\cos x_{n}\\1&K\cos x_{n}\end{array}}\right] .

Från villkoret kan man bestämma matrisens egenvärden för både stationära punkter [ och ]: $\det |{\hat {M}}-\lambda {\hat {I}}|=0$ ${\hat {M}}$ $(0,\;0)$ $(\pi ,\;0)$

\lambda _{\pm }^{(0,\;0)}={\frac {2+K\pm {\sqrt {K^{2}+4K))}{2)),

\lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}={\frac {2-K\pm {\sqrt {K^{2}-4K}}}{2}}.

Eftersom detta innebär ojämlikhet . Samtidigt gäller ojämlikheten för godtycklig . Således är en stationär punkt en instabil hyperbolisk punkt. Den stationära punkten är en stabil elliptisk punkt vid , för då . För den stationära punkten förlorar stabilitet och blir hyperbolisk. $K>0$ $\lambda _{+}^{(0,\;0)}>1$ $\lambda _{-}^{(0,\;0)}<\lambda _{+}^{(0,\;0)}<1$ $K>0$ $(0,\;0)$ $(\pi ,\;0)$ $0\leqslant K<4$ $\mathrm {Re} \left|\lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}\right|=1$ $K\geqslant 4$ $(\pi ,\;0)$

Under parameterns kritiska värde, (fig. 1), delar de invarianta tori upp systemets fasutrymme på ett sådant sätt att rörelsemängden begränsas – med andra ord kan diffusion i det stokastiska lagret inte gå utanför de gränser som avgränsas. av den invarianta tori. Den "gyllene" invarianta torusen kollapsar när rotationstalet når värdet , vilket motsvarar det kritiska värdet för parametern (systemets fasutrymme för visas i fig. 2). För närvarande är det inte strikt bevisat att numeriska beräkningar dock visar att så är fallet. Hittills finns det bara rigorösa bevis för att vid , observeras en global kaosregim, när ett stokastiskt hav med individuella öar av stabilitet täcker hela fasutrymmet (se fig. 3). Det finns inte längre några invarianta tori som begränsar evolutionen i fasrummet, och vi kan tala om banadiffusion i ett kaotiskt hav. ${\displaystyle K<K_{c))$ $sid$ $sid$ $r_{g}=({\sqrt {5}}-1)/2$ $K_{g}=0{,}971\ 635\ldots$ $K=0{,}971\ 635$ ${\displaystyle K_{c}=K_{g))$ ${\displaystyle K>63/64=0{,}984\;375>K_{c))$

Kolmogorov-Sinai-entropin för standardmappningen är väl beskriven av relationen för värdena för kontrollparametern [2] $h\approx \ln(K/2)$ $K>4$

Quantum Standard Map

Övergången till kvantstandardmappningen sker genom att ersätta dynamiska variabler med kvantmekaniska operatorer som uppfyller kommuteringsrelationen , där är Plancks effektiva dimensionslösa konstant . $(p,\;x)$ $({\hat {p)),\;{\hat {x)))$ $[{\hat {p)],\;{\hat {x}}]=-i\hbar$ $\hbar$

Den huvudsakliga egenskapen hos en kvantmappning jämfört med den klassiska är det så kallade fenomenet dynamisk lokalisering , som består i undertryckandet av kaotisk diffusion på grund av kvanteffekter [3] .

Applikation

Många fysiska system och fenomen reduceras till en standardskärm. Detta, i synnerhet,

partikeldynamik i acceleratorer ;
kometdynamik i solsystemet;
mikrovågjonisering av Rydberg-atomer och autojonisering av molekylära Rydberg-tillstånd;
elektronisk magnetotransport i en resonanstunneldiod ;
inneslutning av laddade partiklar i spegelmagnetiska fällor .

Frenkel-Kontorova-modellen

Frenkel-Kontorova-modellen bör pekas ut separat som den första modellen där standardkarteringsekvationerna skrevs analytiskt. Denna modell används för att beskriva dynamiken i dislokationer, monolager på kristallytor, laddningstäthetsvågor och torrfriktion. Modellen i det stationära fallet specificerar förhållandet mellan positionerna för interagerande partiklar (till exempel atomer) i fältet av en rumsligt periodisk potential. Hamiltonfunktionen hos en endimensionell kedja av atomer som interagerar med sina närmaste grannar genom en parabolisk interaktionspotential och som ligger i fältet för en cosinuspotential som beskriver en kristallin yta har följande form:

H=\sum _{n}\left({\frac {P_{n}^{2}}{2}}+{\frac {(x_{n+1}-x_{n})^ {2}}{2}}-K\cos x_{n}\right),\quad P_{n}={\dot {x}}_{n}.

Här är atomens avvikelse från dess jämviktsposition. I det stationära fallet ( ) leder detta till följande ekvation $x_{n}$ $P_{n}\equiv 0$

x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1}=K\sin x_{n},

som genom substitution kan reduceras till den vanliga notationen för standardmappningen. ${\displaystyle p_{n+1}=x_{n+1}-x_{n))$

Anteckningar

↑ Chirikov BV Forskning angående teorin om olinjär resonans och stokasticitet // Preprint N 267, Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk (1969), (Engl. Trans., CERN Trans. 71-40 (1971)).
↑ Chirikov BV En universell instabilitet för mångdimensionella oscillatorsystem // Phys. Rep. 52:263 (1979).
↑ Casati G., Chirikov BV, Izrailev FM, Ford J. Lecture Notes in Physics - Berlin: Springer, 93: 334 (1979).

Litteratur

Standardvisning av Chirikov på www.scholarpedia.org (engelska) .
Weisstein, Eric W. Standardkarta (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Lichtenberg, A.J. och Lieberman, M. A. Regular and Chaotic Dynamics (neopr.) . — Springer, Berlin, 1992. .
Ott, Edward. Kaos i dynamiska system (neopr.) . - Cambridge University Press New, York, 2002. .
Sprott, Julien Clinton. Kaos och tidsserieanalys . — Oxford University Press , 2003. .
Chirikov BV "Tidsberoende kvantsystem" i "Kaos och kvantmekanik" // Les Houches Lecture Series, Vol. 52, sid. 443-545, red. M.-J. Giannoni, A. Voros, J. Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).