Struktur (differentialgeometri)

I differentialgeometri är en struktur på ett grenrör , en geometrisk mängd eller ett fält av geometriska objekt en sektion av en bunt som är associerad med huvudbunten av samramar i något grenrör . Intuitivt kan en geometrisk storhet ses som en storhet vars värde inte bara beror på grenrörets punkt , utan också på valet av coreper, det vill säga på valet av det infinitesimala koordinatsystemet vid punkten (se även Karta ). $M$ $x$ $M$ $x$

En formell definition av en struktur på ett grenrör

För att formellt definiera strukturer på ett grenrör, överväga - en allmän differentiell ordningsgrupp (gruppen av -jetstrålar vid noll av rymdtransformationer som bevarar ursprunget till koordinater), - en gren av ordningssamramar av ordningen för ett -dimensionellt grenrör ( d.v.s. en mängd -jetstrålar av lokala sjökort med ursprung vid punkten ). $GL^{k}(n)$ $k$ $k$ $\mathbb {R} ^{n}$ $M_{k}$ $k$ $n$ $M$ $k$ $j_{x}^{k}(u)$ ${\displaystyle u:M\supset U\to \mathbb {R} ^{n))$ $x=u^{-1}(0)$

Gruppen agerar från vänster på grenröret med formeln $GL^{k}(n)$ $M_{k}$

j_{0}^{k}(\varphi )j_{0}^{k}(u)=j_{x}^{k}(\varphi \circ u),\quad j_{0}^ {k}(\varphi )\in GL^{k}(n),\quad j_{x}^{k}(u)\in M_{k}.

Den här åtgärden definierar strukturen för en principal - bunt som kallas order coframe-bunten . $M_{k}$ $GL^{k}(n)$ $\pi _{k}:M_{k}\to M$ $k$

Låt nu vara en godtycklig -manifold, det vill säga en manifold med en vänster åtgärd av gruppen , och låt en vara utrymmet för banor av vänster åtgärd av gruppen i . Bunten , som är den naturliga projektionen av omloppsutrymmet på och associerad med båda , och med , kallas bunten av geometriska strukturer av den typ av ordning som mest , och dess sektioner kallas strukturer av typen . Strukturer av denna typ är i en naturlig en-till-en-överensstämmelse med -zquivariant mappningar . $W$ $GL^{k}(n)$ $GL^{k}(n)$ $W(M)$ $GL^{k}(n)$ $M_{k}\ gånger W$ $\pi _{W}:W(M)\to M$ $M$ $W$ $M_{k}$ $W$ $k$ $W$ $GL^{k}(n)$ $S:M_{k}\to W$

Således kan typstrukturer betraktas som en -värderad funktion på en mängd olika -ramar som uppfyller följande ekvivariansvillkor: $W$ $W$ $S$ $M_{k}$ $k$

S(gu^{k})=gS(u^{k}),\quad g\in GL^{k}(n),\quad u^{k}\in M_{k}.

En bunt av geometriska objekt är en naturlig bunt i den meningen att diffeomorfismgruppen i ett grenrör fungerar som en automorfismgrupp . $M$ $\pi _{W}$

Om det finns ett vektorrum med en linjär (respektive affin) gruppåtgärd sägs typstrukturer vara linjära (respektive affin ). $W$ $GL^{k}(n)$ $W$

De främsta exemplen på linjära strukturer av första ordningen är tensorstrukturer eller tensorfält . Låt och vara utrymmet för tensorer av typ med den naturliga tensorrepresentationen av gruppen . En typstruktur kallas ett tensortypfält . Det kan betraktas som en vektorfunktion på mångfalden av coframes , som tilldelar corepern en uppsättning koordinater för tensorn med avseende på standardbasen $V=\mathbb{R} ^{n}$ $V^{*}={\mathrm {Hom}}\,(V,\;\mathbb{R})$ $V_{g}^{p}=((\otimes ^{p}V))\otimes ((\otimes ^{q}V^{*}))$ $(p,\;q)$ $GL^{1}(n)=GL(n)$ $V_{q}^{p}$ $(p,\;q)$ $M_{1}$ $\theta =j_{1}^{1}(u)=(du^{1},\;du^{2},\;\ldots ,\;du^{n})$ $S(\theta )_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$ ${\displaystyle S(\theta )\in V_{q}^{p))$

\{e_{i_{1}}\otimes e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}}\otimes e^{*j_{1}}\otimes e^{ *j_{2}}\otimes \ldots \otimes e^{*j_{q}}\}

utrymmen . Med en linjär coronertransformation transformeras koordinaterna i en tensorrepresentation: $V_{q}^{p}$ $\theta \to g\theta =(g_{a}^{i}\,du^{a})$ $S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{p}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$

S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}(q\theta )=g_{a_{1}} ^{i_{1}}g_{a_{2}}^{i_{2}}\ldots g_{a_{p}}^{i_{p}}(g^{-1})_{j_{1 }}^{b_{1}}(g^{-1})_{j_{2}}^{b_{2}}\ldots (g^{-1})_{j_{q}}^{ b_{q}}S(\theta )_{b_{1}b_{2}\ldots b_{q}}^{a_{1}a_{2}\ldots a_{p}}.

De viktigaste exemplen på tensorstrukturer är:

Alla linjära strukturer (av vilken ordning som helst) är uttömda av Rashevskys supertensorer [1] .

Ett exempel på en andra ordningens affin struktur är en torsionsfri affin koppling , som kan betraktas som en struktur av typen , där är kärnan av den naturliga homomorfismen , som kan betraktas som ett vektorrum med en naturlig grupphandling . $V_{(2)}^{1}$ $V_{(2)}^{1}\approx V\otimes S^{2}V^{*}$ $GL^{2}(n)\till GL^{1}(n)$ $GL^{2}(n)=GL(n)V_{(2)}^{1}$

En annan viktig och ganska bred klass av strukturer är klassen av oändligt homogena strukturer , eller -strukturer . De kan definieras som strukturer av typ , där är gruppens homogena utrymme . $W$ $W=GL^{k}(n)/G$ $GL^{k}(n)$

För en ytterligare generalisering kan vi överväga allmänna -strukturer - huvudsakliga buntar mappade homomorfiskt på en -struktur och sektioner av buntarna associerade med dem. I det här fallet kan ett antal viktiga generella geometriska strukturer övervägas, såsom spinorstrukturer , symplektiska spinorstrukturer etc. $G$ $G$

Litteratur

Bourbaki, N. Mängdlära / Per. från franska - M . : Mir, 1965. - 457 sid.
Veblen, O., Whitehead, J. Foundations of Differential Geometry . - M. : IIL, 1949. - 230 sid.
Sternberg, S. Föreläsningar om differentialgeometri . - M . : Mir, 1970. - 413 sid.
Vasiliev, A. M. Teori om differentialgeometriska strukturer . - M. : MGU, 1987. - 190 sid.
Laptev G. F. Grundläggande infinitesimala strukturer av högre ordning på ett jämnt grenrör // Proceedings of the Geometrical Seminar. - vol 1. - M . : VINITI , 1966, sid. 139-189.

Se även

-strukturera
-strukturera
-strukturera
-strukturera
-strukturera
Kontaktstruktur
Nästan komplex struktur
Algebraisk struktur
Topologisk struktur
Hodge struktur
Matematisk struktur

Anteckningar

↑ Rashevsky P.K. Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 1957. - v. 6. - sid. 337-370.