Kontrakterat utrymme

Ett sammandragbart utrymme är ett topologiskt utrymme som är homotopiskt ekvivalent med en punkt. Detta tillstånd motsvarar att säga att identitetskartan på är homotopisk till den konstanta kartan. $X$

Ett lokalt sammandragbart utrymme är ett topologiskt utrymme, vars varje punkt har ett sammandragbart område .

Egenskaper

Ett utrymme är sammandragbart om och endast om det finns ett sådant som är en deformationsretur av utrymmet . $X$ $x_{0}\i X$ $\{x_{0}\}$ $X$

Kontraktsbara utrymmen är alltid helt enkelt sammankopplade ; det omvända påståendet håller inte i det allmänna fallet, sammandragbarhet är en starkare begränsning än bara anknytning.

Varje kontinuerlig karta över sammandragbara utrymmen är en homotopiekvivalens. Varje två kontinuerliga kartor av ett godtyckligt utrymme till ett sammandragbart utrymme är homotopiska; Dessutom, om två kontinuerliga kartor är homotopiska, så är det ett sammandragbart utrymme. $X$ $X$

En kon för ett givet utrymme är ett sammandragbart utrymme, så vilket utrymme som helst kan bäddas in i ett sammandragbart utrymme, vilket i sin tur indikerar att inte varje delrum i ett sammandragbart utrymme är sammandragbart. Den är också sammandragbar om och endast om det finns en tillbakadragning . $\mathrm{C}X$ $X$ $X$ $X$ ${\mathrm {C}}X\till X$

Exempel och motexempel

Sammandragbar -dimensionell verklig rymd , vilken konvex delmängd som helst av det euklidiska rummet, i synnerhet -dimensionell boll . $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

En sfär i ett oändligt dimensionellt Hilbert-rum är sammandragbart, men -dimensionella euklidiska sfärer är icke-sammandragbara. Varje kontinuerlig avbildning av en dimensionell sfär till ett sammandragbart utrymme kan kontinuerligt utökas till en dimensionell boll. $n$ $n$ $n+1$

Andra anmärkningsvärda sammandragbara utrymmen är Whitehead-grenröret (ett tredimensionellt grenrör , inte homeomorft ), Mazur-grenröret ( ett jämnt fyrdimensionellt grenrör med gräns, inte diffeomorft till en fyrkula), Bing-huset och gycklarmössa . $\mathbb {R} ^{3}$

Alla grenrör och CW-komplex är lokalt sammandragbara, men inte generellt sammandragbara.

Litteratur

E. Spanier. Algebraisk topologi. - M .: Mir , 1971. - S. 39-42. — 680 s.