Kon (topologi)

En kon i topologi är ett topologiskt utrymme som erhålls från det ursprungliga utrymmet genom att dra ihop ett delrum av dess cylinder ( ) till en punkt, det vill säga ett kvotutrymme . Konen över rymden betecknas med . $X$ $X\ gånger\{0\}$ $X\ gånger[0, 1]$ $(X \ gånger [0, 1])/(X \ gånger \{0\})$ $X$ $\mathrm CX$

Om är en kompakt delmängd av det euklidiska utrymmet , då konen över är homeomorphic till föreningen av segmenten från till en framstående punkt i rymden, det vill säga definitionen av en topologisk kon överensstämmer med definitionen av en geometrisk kon . Den topologiska konen är dock en mer allmän konstruktion. $X$ $X$ $X$

Exempel

En kon över en punkt på den verkliga linjen är ett intervall , en kon över ett intervall på den verkliga linjen är en fylld triangel (2-simplex), en kon över en polygon är en pyramid med bas . Konen ovanför cirkeln är den klassiska konen (med inredning); en kon över en cirkel är sidoytan på en klassisk kon: $sid$ $\{p\}\ gånger[0,1]$ $P$ $P$

\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = z^2 \wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}

homeomorf till en cirkel .

I allmänhet är en kon över en hypersfär homeomorf till en sluten dimensionell boll . En kon över en -simplex är en -simplex. $(n+1)$ $n$ $(n+1)$

Egenskaper

Konen kan konstrueras som en konstant kartläggningscylinder [ 1] . $\mathrm CX$ $X \till \{0\}$

Alla koner är väganslutna , eftersom vilken punkt som helst kan kopplas till en vertex. Dessutom är vilken kon som helst sammandragbar till vertexen med hjälp av homotopin som ges av formeln . $h_t(x, s) = (x, (1-t)s)$

Om är kompakt och Hausdorff , då kan konen representeras som utrymmet av linjesegment som förbinder varje punkt till en enda punkt; om inte är kompakt eller Hausdorff, så är det inte det, eftersom topologin på kvotutrymmet i allmänhet kommer att vara tunnare än uppsättningen linjesegment som ansluter till en punkt. $X$ $\mathrm CX$ $X$ $X$ $\mathrm CX$ $X$

I algebraisk topologi används kottar flitigt eftersom de representerar utrymmen som inbäddningar i ett sammandragbart utrymme; i detta sammanhang är följande resultat också viktigt: ett utrymme är sammandragbart om och endast om det är en indragning av sin kon. $X$

Konisk funktion

Kartläggningen genererar en konisk funktor , en endofunktor över kategorin topologiska utrymmen . $X\mapsto \mathrm CX$ $\mathrm C:\mathbf{Topp} \to \mathbf{Topp}$ $\mathbf {Överst}$

Reducerad kon

Den reducerade konen är en konstruktion över ett prickat utrymme [2] : $(X,x_{0})$

\mathrm C (X, x_0) = \big( X\times [0,1] \big) / \big( (X\times \left\{0\right\}) \cup (\left\{x_0\ höger\}\ gånger [0,1]) \big)

Naturlig inbäddning tillåter oss att betrakta vilket spetsigt utrymme som helst som en sluten delmängd av dess reducerade kon [3] . $x\mapsto(x,1)$

Se även

Tillägg (topologi)
Kartläggningskon (topologi)
Kartläggningskon (homologisk algebra)
Gå med (topologi)

Anteckningar

↑ Spanier, 1971 , sid. 77.
↑ Schweiz, 1985 , sid. 13.
↑ Spanier, 1971 , sid. 469.

Litteratur

Allen Hatcher. Algebraisk topologi. - Moskva: MTsNMO Publishing House, 2011. - ISBN 978-5-940-57-748-5 .
R. M. Switzer. Algebraisk topologi - homotopi och homologi. - Moskva: "Nauka", Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1985.
E. Spanier. Algebraisk topologi. - Moskva: Mir, 1971.