Riemann sfär

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 februari 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Riemann-sfären är en visuell representation av en mängd i form av en sfär, precis som mängden reella tal avbildas i form av en rät linje och hur mängden komplexa tal avbildas i form av ett plan . Av denna anledning används termen "Riemann-sfär" ofta som en synonym för termen " uppsättning komplexa tal kompletterade med en punkt i oändligheten ", tillsammans med termen " förlängt komplext plan ". [ett] ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$

I ett mer formellt tillvägagångssätt förstås Riemann-sfären som en sfär i rymden som ges av ekvationen , med en stereografisk projektion in i planet , identifierad med det komplexa planet. Det är denna formellt definierade konstruktion som kommer att diskuteras nedan. [ett] $\mathbb {R} ^{3}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ $Oxy$

Beskrivning

Betrakta ett tredimensionellt euklidiskt utrymme . Koordinaterna för punkter i det tredimensionella rummet kommer att betecknas med . I betrakta en sfär som tangerar planet vid en punkt med diameter . En sådan sfär ges av ekvationen $\mathbb {R} ^{3}$ ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\zeta )\in \mathbb {R} ^{3))$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S$ $O\xi \eta$ $(0;0;0)$ $ett$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

Varje punkt i planet kan associeras med en punkt i sfären enligt följande. Låt oss rita genom en punkt och en linje; denna linje kommer att skära sfären vid ytterligare en punkt, som vi kommer att betrakta som motsvarar punkten . En sådan korrespondens kallas en stereografisk projektion centrerad på . Till varje punkt på planet associerar den unikt en punkt i sfären. Men inte varje punkt på sfären motsvarar en punkt på planet: ingen punkt på planet motsvarar en punkt. Således har vi en en-till-en-överensstämmelse mellan planet och . $(\xi ;\eta ;0)\in O\xi \eta$ $M\in S$ $N=(0;0;1)$ $(\xi ;\eta ;0)$ $(\xi ;\eta ;0)$ $N$ $N$ $O\xi \eta$ $S\setminus \{N\}$

Planet kan identifieras med det komplexa planet , . Sedan definierar överensstämmelsen som definieras ovan en kontinuerlig en-till-en-mappning . För att slutföra denna mappning till en bijektion till hela sfären, kompletterar vi uppsättningen med ytterligare en punkt, som vi kommer att betrakta den omvända bilden av punkten . Vi kommer att kalla denna punkt för punkten vid oändligheten och beteckna den med . Vi har en bijektion . Mängden kallas den utökade mängden komplexa tal , sfären kallas Riemann-sfären . [ett] $O\xi \eta$ $\mathbb {C}$ $x+iy=(\xi ,\eta ,0)$ ${\displaystyle \tau \colon \mathbb {C} \rightarrow S\setminus \{N\))$ $\mathbb {C}$ $N$ $\infty$ $\pi \colon \mathbb {C} \cup \{\infty \}\rightarrow S$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}$ $S$

Den beskrivna konstruktionen används ofta i många läroböcker för att visuellt definiera den utökade uppsättningen av komplexa tal. Faktum är att topologin på denna uppsättning kan definieras genom att ställa in de öppna uppsättningarna som förbilder av öppna uppsättningar med avseende på , och operationer till oändlighet sträcker sig genom kontinuitet. Definitionen som använder Riemann-sfären beskriver helt kärnan i expansionen av uppsättningen av komplexa tal, dessutom representerar den dess visuella tolkning. $\pi$

Formell definition

Sfär som ges i rymden av ekvationen $S$ $R^{3}$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

tillsammans med kartläggningen som ges som ${\displaystyle \pi \colon S\rightarrow \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

\pi (\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}

kallas Riemann-sfären .

Mappningen i definitionen kan vändas, innebörden av detta kommer inte att förändras.

Koordinater

Numeriska koordinater på den utökade uppsättningen av komplexa tal introduceras på tre sätt:

affin komplex koordinat som kan ta på sig värdet ; $z$ $\infty$
projektiva homogena komplexa koordinater ; $[z_{0}:z_{1}]$
tredimensionella reella koordinater relaterade av ekvationen: $\xi ,\eta ,\zeta$

\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

Övergången från en koordinat till en annan ges av formlerna:

z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}

z_{0}:z_{1}=\left[{\begin{matrix}\zeta :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end {matris}}\höger.

\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta ={\dfrac {z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\dfrac {|z| ^{2}}{1+|z|^{2}}}\end{matris}}\höger.

z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta ))

[ett]

Sfärisk metrisk

Riemann-sfären tillåter oss att introducera en annan metrik på uppsättningen, annorlunda än den euklidiska. Detta mått kallas sfäriskt mått . Den definieras som den euklidiska metriken mellan motsvarande punkter på Riemanns sfär. Det vill säga för två nummer $\mathbb {C}$ $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}

Det är inte svårt att få ett direkt uttryck för ett sådant avstånd.

\rho (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{2}-z_{1}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2} }}{\sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}

Euklidiska och sfäriska mått är likvärdiga på . Det speciella med den sfäriska metriken är att den kan utökas till en utökad uppsättning komplexa tal, i motsats till den euklidiska. En sådan fortsättning definieras på exakt samma sätt. För två element $\mathbb {C}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}

Det direkta uttrycket för ett sådant avstånd, när en av punkterna är oändligt, skrivs annorlunda.

\rho (z,\infty )={\frac {1}{\sqrt {1+|z|^{2))))

[ett]

Automorfismer

Automorfismer av en domän kallas holomorfa bijektiva mappningar av denna domän i sig själv. När det gäller automorfismer av hela den utökade uppsättningen av komplexa tal används vanligtvis termen "automorfismer av Riemann-sfären" - ett exempel på hur termen "Riemann-sfär" används som en synonym för termen "utvidgad uppsättning komplexa tal". Automorphisms av Riemann-sfären är fraktionerade linjära transformationer (eller Möbius-transformationer ). Låta $U\subset \mathbb {C} \cup \infty$

\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0

Den linjära fraktionella transformationen definieras som $f\colon \mathbb {C} \cup \infty \rightarrow \mathbb {C} \cup \infty$

f(z)={\frac {az+c}{bz+d))

utvidgas till kontinuitet på alla punkter där detta uttryck inte är direkt definierat.

Linjära fraktionerade avbildningar på Riemanns sfär omvandlar cirklar till cirklar. [2]

Applikationer

Bortsett från matematik är Riemann-sfären känd inom teoretisk fysik .

I speciell relativitet är Riemann-sfären en modell av den himmelska sfären . Möbius-transformationerna är relaterade till Lorentz-transformationerna och beskriver förvrängningen av himmelssfären för en observatör som rör sig med nära ljusets hastighet.

Möbius- och Lorentz-transformationerna är också relaterade till spinorer . Inom kvantmekaniken parametriserar Riemann-sfären tillstånden av system som beskrivs av ett 2-dimensionellt utrymme (se q-bitars ), speciellt spinnet av massiva partiklar med spinn 1/2, såsom elektronen . I detta sammanhang kallas Riemann-sfären Bloch-sfären och latitud-longitudkoordinaterna används på den nästan som på en vanlig sfär, endast latituden räknas från polen och vinkeln delas med 2, inklusive (se fig. ) $\theta$ $0<\theta <\pi /2$

I det här fallet är följande relationer sanna:

z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta

\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta}\end{matrix} }\höger.

Inom polarisationsoptiken kallas Riemann-sfären för Poincaré-sfären och koordinataxlarna kallas Stokes-parametrarna .

Det inre av sfären

Det inre av sfären ( kulan ) möjliggör semantisk tolkning i båda ovanstående applikationer. Eftersom den himmelska sfären är en uppsättning ljusliknande riktningar av rum-tid, så motsvarar dess inre tidsliknande riktningar, det vill säga i själva verket relativistiska underljushastigheter . Detta utrymme är hyperboliskt (har en konstant negativ krökning som Lobachevsky-planet , bara med dimension 3, inte 2); det är naturligtvis föremål för Möbius-omvandlingarna.

Bloch-sfärens inre motsvarar de så kallade blandade tillstånden i q-biten, och är geometriskt arrangerad som en vanlig boll.

Båda beskrivs dock av positiv-definita 2×2 hermitiska matriser , betraktade upp till multiplikation med ett positivt tal.

Litteratur

Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969 . — 577 sid.

Länkar

Riemann-sfären // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Riemanns sfär , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

↑ 1 2 3 4 5 Shabat, 1969 , sid. 16.
↑ Shabat, 1969 , sid. 47.