Möbiusförvandling

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 april 2019; kontroller kräver 24 redigeringar .

Möbius -transformen är en transformation av en enpunktskomprimering av det euklidiska rummet , som är en sammansättning av ett ändligt antal inversioner med avseende på hypersfärer och reflektioner med avseende på hyperplan . [1] . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n))}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \))$

I engelsk litteratur definieras termen Möbius-transformation ofta endast för det utökade komplexa planet som en transformation specificerad med hjälp av en linjär-fraktionell funktion : ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ höger|\neq 0

Denna definition kan betraktas som ett specialfall av det allmänna för , eftersom om det utökade komplexa planet representeras som , då är definitionerna ekvivalenta. I ryskspråkig litteratur, för linjär-fraktionella funktioner av komplexa tal, används termen linjär-fraktionell transformation . $n=2$ ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{2))}=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \))$

För fallet med en enpunktskomprimering av en linje är det en projektivt förlängd reell linje . På den kan Möbius-transformationerna definieras på samma sätt som det komplexa fallet med hjälp av linjär-fraktionella funktioner. $n=1$

Projektivt utökad tallinje

Om mellanslag är en utökad tallinje. I det här fallet tillåter Möbius-transformationen en alternativ definition med hjälp av en linjär-fraktionell funktion: $n=1$ $\R \cup \{\infty\}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ höger|\neq 0

Utökat komplext plan

I fallet kan rymden ses som ett utökat komplext plan. Betraktad på detta sätt kallas Möbius-transformen också en linjär-fraktionell transformation och kan alternativt definieras med hjälp av en linjär-fraktionell funktion: $n=2$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \))$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ höger|\neq 0

I ett rum av dimension 2 förvandlar Möbius-transformationen generaliserade cirklar till generaliserade cirklar. Det kan betraktas antingen som en punkttransformation eller som en transformation av generaliserade cirklar [2] :

som en punkttransformation är Möbiustransformationen en transformation av det utökade euklidiska planet så att en cirkel eller linje blir en cirkel eller linje. Vi har punktanallagmatisk geometri ;
som en icke-punktstransformation är Möbiustransformationen ett specialfall av en kontakttransformation , där huvudelementet inte är en punkt, utan en cirkel. Vi har en cirkulär anallagmatisk geometri.

Följande enkla egenskaper kan lätt verifieras:

Identitetskartläggningen är också ett specialfall av en linjär-fraktionell funktion. Tillräckligt att ersätta $f(z)=z$ $a=d=1,\;b=c=0.$
Superpositionen av linjär-fraktionella mappningar kommer också att vara en linjär-fraktionell funktion.
En funktion invers till en linjär-fraktionell kommer också att vara sådan.

Det följer att linjär-fraktionella avbildningar kommer att bilda en grupp under drift av superposition ( automorfismgruppen i Riemann-sfären , även kallad Möbius-gruppen ). Denna grupp är en komplex tredimensionell Lie - grupp .

Algebraiska egenskaper

När parametrarna , , , multipliceras med ett komplext tal som inte är noll, ändras inte transformationen. Formellt sett är Möbiusgruppen en projektivisering av gruppen , det vill säga det finns en epimorfism : . $a$ $b$ $c$ $d$ $GL_{2}(\mathbb {C})$ $\left(\begin{matrix}a&&b\\c&&d\end{matrix}\right)\to\frac{az+b}{cz+d}$

Möbiusgruppen är isomorf till den speciella ortokroniska Lorentzgruppen $SO^\uparrow(1,\;3)$ .

Låt oss anta att matrisen som motsvarar transformationen är normaliserad, det vill säga den uppfyller villkoret . Sedan, beroende på spåret av denna matris, lika med , kan vi klassificera alla linjär-fraktionella mappningar i tre typer: $ad-bc=1$ $a+d$

elliptisk: ; $|a+d|<2$
parabolisk: ; $a+d=\pm 2$
hyperbolisk: . $|a+d|>2$

Geometriska egenskaper

För det första kan vilken linjär-fraktionell mappning som helst representeras som en kombination av skift , inversioner , rotationer och sträckningar . Detta är lätt att bevisa - en godtycklig karta kan delas upp i en överlagring av fyra funktioner: $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))),

var

\begin{matrix}f_1(z)&=&z+\dfrac{d}{c},\\f_2(z)&=&\dfrac{1}{z},\\f_3(z)&=&-\ dfrac{ad-bc}{c^2}z,\\f_4(z)&=&z+\dfrac{a}{c}.\end{matris}

För det andra följer omedelbart egenskapen att bevara vinklar och bevara cirklar under en linjär-fraktionell mappning, eftersom alla mappningar som ingår i superpositionen är konforma. Här menar vi cirklar på Riemann-sfären , som inkluderar linjer i planet.

Vidare, för tre parvis distinkta punkter , finns det en unik linjär-fraktionell mappning som mappar dessa tre punkter till de givna tre parvis distinkta punkterna . Den är konstruerad utifrån det faktum att linjär-fraktionella mappningar bevarar det anharmoniska förhållandet mellan fyra punkter i det komplexa planet. Om punkten är bilden av punkten , då jämlikheten $z_1,\;z_2,\;z_3$ $w_1,\;w_2,\;w_3$ $w(z)$ $z$

\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w(z))}{(w_1-w( z))(w_2-w_3)},

som (under förutsättning att för ) unikt bestämmer den önskade mappningen $z_i \ne z_j, w_i \ne w_j$ $i \ne j$ $w(z).$

Möbiustransformationen och enhetscirkeln

Möbiusförvandling

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

är en automorfism av enhetscirkeln om och endast om och . $\Delta=\{z \in {\mathbb C}: \, |z|<1\}$ $a{\bar b}=c{\bar d}$ $|a|=|d|>|c|$

För både Riemann-sfären och enhetscirkeln är alla konforma automorfismer uttömda av linjär-fraktionella funktioner. Enhetscirkelns automorfismer bildar en reell tredimensionell undergrupp av Möbiusgruppen ; var och en av dem uttrycks som:

f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi} |=1.

Exempel

Ett viktigt exempel på en linjär bråkfunktion är Cayley-transformen :

W(z)=\frac{zi}{z+i}.

Den länkar två kanoniska domäner på det komplexa planet genom att mappa det övre halvplanet till enhetscirkeln . ${\mathbb C}^+$ $\Delta$

Utrymmen med högre dimensioner

Att börja med någon konform kartläggning är en Möbius-transformation. Möbiustransformationer har en av följande typer: $n=3$

$f(x)=b+A(xa)$
${\displaystyle f(x)=b+{\dfrac {A(xa)}{|xa|^{2))))$ ,

där , är en ortogonal matris . $a,b\in \mathbb {R}$ $A$

Anteckningar

↑ Alfors L. Möbius transformations in multidimensional space, 1986 , sid. 5.
↑ Mathematical Encyclopedia , vol. 3, 1982 , st. 122.

Litteratur

Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969. — 577 sid.
Alfors L. Möbius transformationer i flerdimensionellt rum: Per. från engelska. N.A. Gusevsky. Ed. S. L. Krushkala . M.: Mir, 1986. 112 s., ill. [Modern matematik. Introduktionskurser.]
Matematisk uppslagsverk : Kap. ed. I.M. Vinogradov , volym 3 Koo-Od. M .: "Sovjetiska encyklopedien", 1982. 1184 stb., Ill.

Länkar

Moebius Transformations Revealed Arkiverad 16 februari 2011 på Wayback Machine på YouTube .
- detsamma (med rysk undertext) Arkiverad 22 juni 2015 på Wayback Machine .