Konvergens i mått

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Konvergens i mått (i sannolikhet) i funktionsanalys , sannolikhetsteori och relaterade discipliner är en slags konvergens av mätbara funktioner ( slumpvariabler ) som ges på ett utrymme med ett mått ( sannolikhetsutrymme ).

Definition

Låt vara ett mellanslag med mått. Låt vara mätbara funktioner på detta utrymme. En sekvens av funktioner sägs konvergera i mått till en funktion if $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f$

\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0

Beteckning: . $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$

När det gäller sannolikhetsteori, om ett sannolikhetsutrymme ges med slumpvariabler definierade på det , så säger de att det konvergerar i sannolikhet till om $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X_n,X,\; n=1,2,\ldots$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $X$

\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0

Beteckning: . $X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X$

Notera

Definitionen av konvergens i mått (i sannolikhet) kan generaliseras till mappningar ( slumpmässiga element ) som tar värden i ett godtyckligt metriskt utrymme .

Egenskaper för konvergens i mått

Sats (Riess F.): Om en sekvens av funktioner konvergerar i mått till , då har den en undersekvens som konvergerar till - nästan överallt . $f_n$ $f$ $f_{n_{k}}$ $f$ $\mu$

Sats (kriterium för konvergens i mått): Om måttet är ändligt, så konvergerar en sekvens av funktioner i mått till om och endast om det för någon undersekvens av sekvensen finns en undersekvens som konvergerar till nästan överallt. $f_n$ $f$ $f_n$ $f$

Om sekvensen av funktioner konvergerar i mått till , och , där , då , och konvergerar till i . $f_n$ $f$ $\forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g$ $g \in L^p,\; p \geqslant 1$ $f_n, f \in L^p$ $f_n$ $f$ $L^{p}$

Om i ett utrymme med ett ändligt mått en sekvens av funktioner konvergerar -nästan överallt till , då konvergerar den också i mått. Det omvända är i allmänhet inte sant. $f_n$ $\mu$ $f$

Om en sekvens av funktioner konvergerar i k , så konvergerar den också i mått. Det omvända är i allmänhet inte sant. $f_n$ $L^{p}$ $f$

Om en sekvens av slumpvariabler konvergerar i sannolikhet till , då konvergerar den till och i distribution . $X_n$ $X$ $X$
Om en sekvens av slumpvariabler konvergerar i sannolikhet till , då för varje kontinuerlig funktion är det sant att . Detta påstående är sant för varje kontinuerlig funktion av flera variabler, i synnerhet $X_n$ $X$ $f(x)$ $f(X_{n})\to f(X),n\to \infty$ $X_{n}+Y_{n}\till X+Y,n\till \infty$