Greens temperaturfunktioner

Temperaturen Greens funktioner är en modifiering av Greenens funktioner för kvantmekaniska system med en temperatur som inte är noll. De är praktiska för att beräkna de termodynamiska egenskaperna hos ett system och innehåller också information om kvasipartiklars spektrum och om svagt icke-jämviktskinetiska fenomen.

I system med interaktion kan motsvarande diagramteknik för temperaturen Greens funktioner konstrueras. Denna teknik används ofta för att studera fasövergångar ( supraledning , superfluiditet , Curie-punkt ) i olika system. Att studera sådana system är en icke-trivial uppgift. Modellen av icke-interagerande partiklar är olämplig för att beskriva själva övergångsmekanismen och tillståndet under övergångspunkten. Här spelar interpartikelinteraktionen en avgörande roll. Att redogöra för en sådan interaktion komplicerar avsevärt den matematiska apparatur som används. Apparaten för temperatur Greens funktioner kan utvecklas i två ekvivalenta formuleringar: med hjälp av kvantmekaniska operatorer eller i metoden för funktionella integraler. En av fördelarna med den senare metoden är frånvaron av problem med icke-kommutativitet hos fältoperatörer och olika typer av beställningar. [ett]

Operatörens tillvägagångssätt

Definition av temperatur Gröns funktioner

Vi introducerar Matsubara- operatörerna i "Heisenberg-representationen" genom relationerna [2] : ${\hat {\Psi ))$

{\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})},

{\hat {\Psi }}^{\dolk }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}} )}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}.

Mer generellt kan dessa operatörer ha spin-index. I dessa formler , är en verklig variabel , så operatörerna och är inte Hermitian konjugat, är den kemiska potentialen i systemet, är systemets Hamiltonian , och är partikelnummeroperatorn. Operatörer och Hermitian-Adjoint Fältoperatörer i Schrödenger-representationen . Det kan ses att "Heisenberg-representationen" av Matsubara-operatörerna skiljer sig från den verkliga Heisenberg-representationen genom förändringen i den senare , det vill säga formellt kan detta förstås som en övergång till imaginär tid . Temperaturen Greens funktion definieras enligt följande: $\tau$ $\tau \in(0,1/T)$ ${\hat {\Psi ))(\tau ,\mathbf {r} )$ ${\hat {\Psi }}^{\dolk }(\tau ,\mathbf {r} )$ $\mu$ ${\hat {H}}$ ${\hat {N}}=\int d\mathbf {r} {\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r}){\hat {\psi }}(\mathbf { r} )$ ${\hat {\psi ))(\mathbf {r} )$ ${\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} )$ $t\rightarrow -i\tau$

G(\tau ,\mathbf {r} _{1};\tau ',\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{\frac {( {\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}T_{\tau }{\hat {\Psi }}^{\dolk }(\tau ,\mathbf {r} _{1}){\hat {\Psi }}(\tau ',\mathbf {r} _{2})\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat { H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}\right\}}},

där symbolen betyder " - kronologisering" - arrangemanget av operatorer från vänster till höger i fallande ordning . När det gäller Fermi-partiklar leder en permutation av operatorer till en förändring av det gemensamma tecknet. [3] Med den här funktionen kan du beräkna antalet partiklar som funktion av kemisk potential, eller kemisk potential som funktion av koncentration och temperatur: ${\displaystyle T_{\tau ))$ $\tau$ $\tau$ $N=\pm \int d\mathbf {r} G(\tau ,\mathbf {r} ;\tau +0,\mathbf {r} ).$

Fallet med fria partiklar

Hamiltonian för ett fritt system, uttryckt i termer av Schrödingerfältoperatörer, har formen [4] :

\quad {\hat {H_{0}}}=\int {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}\left(-{\frac {\Delta }{2m }}\right){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )d\mathbf {r} ,

i den sekundära kvantiseringsrepresentationen kommer det också att skrivas enligt följande:

{\hat {H_{0}}}=\sum \varepsilon _{0}(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\ hatt {a}}_{\mathbf {p} },\quad \varepsilon _{0}(\mathbf {p} )=p^{2}/2m,

som följer av definitionen av -operatörer: ${\hat {\psi ))$

{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{i\mathbf {p} \mathbf {r} } {\hat {a}}_{\mathbf {p} },\qquad {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}={\frac {1}{\sqrt {V} }}\summa e^{-i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}.

Temperaturen Greens funktion av fria partiklar i momentum-"tid"-representationen:

G(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta ( \tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right),

här $\xi _{0}(\mathbf {p} )=\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )-\mu ,\quad \beta =1/T.$

Interagerande partiklar

Låt oss anta att externa fält inte verkar på systemet av partiklar, och interpartikelinteraktioner är av parkaraktär. Vi representerar systemets Hamiltonian i formen: Låt oss introducera Matsubara-operatorer i representationen av interaktionen genom relationer [5 ] ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{int}.$

{\hat {\Phi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}}) }{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})},

{\hat {\Phi }}^{\dolk }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N)))}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat { N)))}.

Den störda delen av Hamiltonian uttryckt i termer av — operatörer har formen: ${\hat {\Phi ))$

{\hat {H}}_{int}={\frac {1}{2}}\int \int d\mathbf {r_{1}} d\mathbf {r_{2}} {\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{1}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dolk }(\mathbf {r_{1}} ,\tau )U(\mathbf {r_ {1}} -\mathbf {r_{2}} ){\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{2}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dolk }(\ mathbf {r_{2}} ,\tau ).

Genom samma operatörer kan man definiera temperaturen Greens funktion:

G(\tau _{1},\mathbf {r} _{1};\tau _{2},\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{ e^{({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})\beta }T_{\tau }{\hat {\Phi }}(\tau _{1}, \mathbf {r} _{1}){\hat {\Phi }}^{\dolk }(\tau _{2},\mathbf {r} _{2})S(\beta )\right\} }{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{T}}S(\beta )\right\} }},

S(\beta )=T_{\tau }\exp {\left(-\int \limits _{0}^{\beta }{\hat {H))_{int}(\tau )d \tau\right)}.

En sådan notation gör det möjligt att utöka exponentialen med en störning och beräkna temperaturen Greens funktion i form av en serie, och varje term i serien kan avbildas grafiskt i form av ett diagram.

Regler för temperaturdiagramteknik. samordna representationen.

	Diagramelement		Analytiskt uttryck
	titel	bild	Analytiskt uttryck
ett	solid linje		$G_{0}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\tau _{1}-\tau _{2})$
2	solid linje		$G_{0}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\tau _{2}-\tau _{1})$
3	Vågig linje		${\mathfrak {U}}(x_{1}-x_{2})=U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\delta (\tau _ {1}-\tau _{2})$
fyra	Rita alla sammankopplade topologiskt icke-ekvivalenta diagram med 2n vertex och två yttre ändar, där två heldragna linjer och en våglinje konvergerar vid varje vertex.
5	Integration utförs över koordinaterna ( ) för varje vertex. $d^{4}z=d\mathbf {r} d\tau$
6	Det resulterande uttrycket multipliceras med , n är ordningen i diagrammet, F är antalet slutna fermioniska slingor i det. ${\displaystyle (-1)^{n+F))$

Med hjälp av dessa regler skildrar vi första ordningens korrigering i störning av temperaturen Greens funktion av interagerande partiklar. För att göra detta måste vi begränsa oss till en linjär term i exponentens expansion. Sedan, med hänsyn till Wicks sats , ritar vi alla anslutna (vilka som helst två punkter på diagrammet kan kopplas samman med en linje) diagram av första ordningen:

Motsvarande analytiska uttryck, till exempel, för diagram 2 kommer att skrivas enligt följande:

Diag_{2}(xy)=-\iint d^{4}zd^{4}wG_{0}(xz)G_{0}(zw)G_{0}(wy){\mathfrak {U }}(zw).

För beräkningar visar sig koordinatrepresentationen vara obekväm, därför är det lättare att formulera hela diagramtekniken i impulsfrekvensrepresentationen med de vanliga reglerna för Fourier-analys . I denna representation kommer det analytiska uttrycket av det övervägda diagrammet att ha formen:

Diag_{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=-{\frac {T}{(2\pi )^{3}}}\summa \limits _{\omega _ {m}}\int d\mathbf {p} _{1}G_{0}^{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})G_{0}(\mathbf {p} _{ 1},\omega _{m}){\mathfrak {U}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1},\omega _{n}-\omega _{m}),

där Greens funktion av det fria systemet har formen [6] :

G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})={\frac {1}{i\omega _{n}-\varepsilon _{0}(\mathbf {p} ) +\mu}},

\omega _{n}=(2n+1)\pi T

- för fermioner,

\omega _{n}=2n\pi T

- för bosoner. Regler för temperaturdiagramteknik. Pulsfrekvensrepresentation.

	Diagramelement		Analytiskt uttryck
	titel	bild	Analytiskt uttryck
ett	solid linje		$G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})$
3	Vågig linje		${\mathfrak {U}}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=U(\mathbf {p} )$
fyra	Matcha linjerna i diagrammet med externa impulser och frekvenser. Momentan och frekvenserna för de inre linjerna vid varje vertex måste uppfylla bevarandelagarna $\sum \mathbf {p} =0,\sum \omega =0$
5	Integration utförs över alla oberoende pulser, och summering utförs över frekvenser.
6	Det resulterande uttrycket multipliceras med , k är ordningen på diagrammet, F är antalet slutna slingor i diagrammet och s är partikelns spinn. $(-1)^{k}{\frac {T^{k}}{(2\pi )^{3k}}}(2s+1)^{F}(\mp )^{F}$

I det enklaste fallet (L. Landau) kan potentialen tas i den form som motsvarar nollinteraktionsradien. Grafiskt motsvarar detta sammandragningen av två punkter, som är förbundna med en vågig linje till en. $U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\sim \delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}) ,,$

Funktionell integrationsmetod

I övergången från klassisk statistisk mekanik till kvantmekanik ersätts integration över kanoniskt konjugerade variabler av ett spår , det vill säga av en summa över tillstånd. [7] Således definieras partitionsfunktionen för ett kvantsystem med en Hamiltonsk operator som $p,q$ ${\hat {H}}$

Z=Tre^{-\beta {\hat {H))}=\summa \limits _{n}{\langle n\vert e^{-\beta {\hat {H))}\vert n\rangle }.

Det kan ses att termen under summatecknet liknar matriselementet för evolutionsoperatorn fram till utbyte . Detta matriselement ges av Feynman-Katz formel [8] : $t\rightarrow -i\beta$

\langle q_{2}\vert e^{-it{\hat {H))}\vert q_{1}\rangle =\int \prod \limits _{t}{\frac {dp(t )dq(t)}{2\pi }}\exp {\left(i\int \limits _{0}^{t}\left(p{\dot {q}}-H(p,q)\ höger)dt\right)}.

Låt oss uppmärksamma det faktum att storheterna i den funktionella integralen är klassiska funktioner, och i ytterligare beräkningar är det inga problem med kommuteringsrelationer. Låt oss göra en Wick-rotation i denna formel och identifiera , då kommer uttrycken för partitionsfunktionen att omvandlas till formen: $p,q,H(p,q)$ $q\sim \psi (x,\tau ),p\sim i\psi ^{+}(x,\tau )$

Z=\int \limits _{BC}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}e^{-S_{\beta )),\qquad BC= {\begin{cases}\psi (x,\tau )=\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Bose))\\\psi (x,\tau )=-\psi ( x,\tau +\beta ),&{\text{Fermi}}\end{cases}},

där verkan av temperaturteorin utförs integration över fält med motsvarande randvillkor (BC) I fallet med en ideal gas ${\displaystyle S_{\beta ))$

S_{\beta }^{0}=\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} \psi ^{+}(x,\tau )\ vänster(\partial _{\tau }+{\frac {\Delta }{2m}}-\mu \right)\psi (x,\tau ).

Parinteraktion kan beaktas i form av en term av typen densitet-densitet [9]

S_{\beta }^{int}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )U(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )\psi ^{+}(x',\ tau )\psi (x',\tau ).

Som nämnts ovan är objekt inte fältoperatorer. När det gäller fermioner är de Grassmann- funktioner, vilket är ett arv från antisymmetrin hos fermioniska vågfunktioner. $\psi (x,\tau ),\psi ^{+}(x,\tau )$

Definition av temperaturen Gröns funktion

Vi definierar Greens funktion som medelvärdet av produkten av flera fält med vikt . [10] Så parkorrelationsfunktionen ges av uttrycket $\exp(-S_{\beta })$

G(x,x',\tau ,\tau ')=\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\frac {1 }{Z}}\int \limits _{BC}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}\psi ^{+}(x,\tau )\psi ( x',\tau )e^{-S_{\beta )),\quad S_{\beta }=S_{\beta }^{0}+S_{\beta }^{int}.

För den korrekta definitionen av detta objekt, som kan visas, behöver vi en ytterligare definition $G(x,x',\tau =\tau ')=G(x,x',\tau =\tau '+0).$

Fallet med fria partiklar

Låt oss beräkna Greens funktion för icke-interagerande partiklar. Som bekant [11] är det nödvändigt att hitta operatörens kärna med hänsyn till randvillkoren, det vill säga att lösa ekvationen $\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)^{-1}$

\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)G_{0}(x,x',\tau ,\tau ')=\delta ( xx')\delta(\tau-\tau').

Ekvationen löses elementärt i representationen $p-\tau$

G_{0}(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left( \Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right).

Som kan ses sammanfaller denna gröna funktion med den gröna funktionen erhållen med Matsubara-operatorerna. Utvidgningen av denna funktion med sammanfallande "tider" innebär att thetafunktionen vid noll är lika med noll.

Interagerande partiklar

Låt oss till exempel betrakta bosoner med en interpartikelinteraktion av typen . $U(xx')=\lambda \delta (xx'),\lambda >0.$ $\lambda$

\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x' ,\tau ')\rangle }_{0}-{\frac {\lambda }{2}}\int \limits _{0}^{\beta }dt\int d\mathbf {y} {\langle \ psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\left(\psi ^{+}(y,\tau )\psi (y,\tau )\right)^{2 }\rangle }_{0}+O(\lambda ^{2}).

Låt oss konstruera motsvarande diagramteknik

Regler för temperaturdiagramteknik. samordna representationen.

	Diagramelement		Analytiskt uttryck
	titel	bild	Analytiskt uttryck
ett	Korsa		$\psi ^{+}(x,\tau )$
2	Punkt		$\psi (x,\tau )$
3	propagator		${\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}=G_{+,0}(x,x',\tau ,\tau ')$
fyra	propagator		${\langle \psi (x',\tau ')\psi ^{+}(x,\tau )\rangle }_{0}=G_{0,+}(x',x,\tau ',\tau )$
3	Vertex		${\displaystyle \left(\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )\right)^{2))$
5	Multiplicera varje vertex med , där n är ordningen på diagrammet, r är symmetrikoefficienten, antalet topologiskt ekvivalenta grafer. $(-\lambda /2)^{n}r/n!$
5	Integration utförs över alla vertexkoordinater.

Rita i första ordningen alla anslutna grafer

Det finns bara ett diagram för det . Motsvarande analytiska uttryck för korrigeringen $r=4$

Diag=-2\lambda \int \limits _{0}^{\beta }dt\int dyG_{+,0}(x,y,\tau ,t)G_{+,0}(y, y,t,t)G_{+,0}(y,x',t,\tau '),

detta uttryck är exakt detsamma som tidigare i operatormetoden. För den betraktade potentialen blir två diagram 1 och 2 ekvivalenta, därför måste uttrycket för ett av diagrammen multipliceras med 2 för att få ett enslingabidrag. I detta fall är det naturligtvis också rimligt att byta till momentum representation. Reglerna för att konstruera diagram i momentumrepresentation är desamma som tidigare.

Anteckningar

↑ Ishihara A. Statistisk fysik. - M . : Mir, 1973. - S. 408.
↑ Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzyaloshinsky I. E. Metoder för kvantfältteori i statistisk fysik. - M . : Dobrosvet, KDU, 2006. - S. 153. - ISBN 5-98227-171-3 .
↑ Landau L.D., Lifshitz E.M., Pitaevsky L.P. 2 // Statistisk fysik. - M . : Nauka, 1976. - S. 172.
↑ Haken X. Quantum field theory of solids. - M . : Nauka, 1980. - S. 99.
↑ Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzyaloshinsky I. E. Metoder för kvantfältteori i statistisk fysik. - M . : Dobrosvet, KDU, 2006. - S. 166. - ISBN 5-98227-171-3 .
↑ Landau L.D., Lifshitz E.M., Pitaevsky L.P. 9 // Statistisk fysik. - M . : Nauka, 1976. - S. 180.
↑ Vasiliev A.N. Funktionella metoder inom kvantfältteori och statistik. - Leningrad: Leningrad. Univ., 1976. - S. 162.
↑ Vergeles S. Föreläsningar om kvantelektrodynamik. - M. : Fizmatlit, 2008. - P. 7. - ISBN 978-5-9221-0892-8 .
↑ Komarova M.V., Nalimov M.Yu., Novozhilova T.Yu. Fasövergångar i kvantsystem: superfluiditet och supraledning. St.Petersburg: Fysiska fakulteten, St. Petersburg State University.
↑ Popov V. N. Kontinuumintegraler i kvantfältteori och statistisk fysik. - M .: Atomizdat , 1976. - S. 31.
↑ Matukk R. Feynman diagram i många-kroppsproblemet. - M . : Mir, 1969. - S. 68.
↑ Vasiliev A. N. Kvantfältsrenormaliseringsgrupp i teorin om kritiskt beteende och stokastisk dynamik. - St. Petersburg: PNPI, 1998. - P. 77. - ISBN 5-86763-122-2 .

Litteratur

Zee E. Kvantfältteori i ett nötskal. - M.-Izhevsk: NIC "RHD", 2009. - ISBN 978-5-93972-770-9 .
Tsvelik AM Kvantfältteori i den kondenserade materiens fysik. - M. : FIZMATLIT, 2002. - ISBN 5-9221-0237-0 .
Zinn-Justin J. Kvantfältteori och kritiska fenomen. - Oxford: Clarendon Press, 2002. - ISBN 0-19-850923-5 .

Greens temperaturfunktioner

Operatörens tillvägagångssätt

Definition av temperatur Gröns funktioner

Fallet med fria partiklar

Interagerande partiklar

Funktionell integrationsmetod

Definition av temperaturen Gröns funktion

Fallet med fria partiklar

Interagerande partiklar

Anteckningar

Litteratur

Se även