Abels sats om olösligheten av ekvationer i radikaler

Abel-Ruffini-satsen säger att en allmän algebraisk gradekvation är olöslig i radikaler [1] .

Detaljer

Galois teori beskriver permutationsgruppen av polynomens rötter . Det moderna beviset för satsen är baserat på följande två fakta:

• När graden av polynomet är större än eller lika med 5 , är polynomets Galois-grupp permutationsgruppen [2] .
• När permutationsgruppen inte är lösbar [3] .

Det är lätt att se att en betydande del av bevisen är "gömd" i Galois-teorin.

Abel-Ruffinis sats säger inte att den allmänna ekvationen för den e graden vid inte har någon lösning. Om komplexa lösningar tillåts garanterar algebras grundläggande sats existensen av lösningar. Kärnan i Abel-Ruffini-satsen handlar om att det för godtyckliga ekvationer av grad som är större än den fjärde är omöjligt att ange en explicit formel för lösningar, det vill säga en formel som definierar alla möjliga lösningar och endast innehåller aritmetiska operationer och rötter av godtycklig grad.

Lösningar på sådana ekvationer kan erhållas med vilken noggrannhet som helst med hjälp av numeriska metoder som Newtons metod .

Dessutom kan rötterna till vissa ekvationer av högre grader uttryckas i radikaler. Till exempel har ekvationen en rot .

Även om en kvintisk ekvation är olöslig i radikaler, finns det formler för dess rötter med hjälp av theta-funktioner .

Explicita formler för potenser mindre än 5

För ekvationer med en grad mindre än den femte kan du ange en explicit lösningsformel. Detta faktum kan betraktas som den "andra delen" eller som den "omvända" Abel-Ruffini-satsen. Även om detta påstående inte följer av Abel-Ruffinis sats, är det sant: se Cardanos formler (för ekvationer av tredje graden) och Ferrari (för fjärde graden) [4] .

Historik

Det första beviset för satsen publicerades 1799 av Ruffini . Det fanns flera felaktigheter i beviset. År 1824 publicerades ett fullständigt bevis av Abel .

Deras bevis förlitade sig på Lagranges idéer om att förvandla rötterna till en ekvation. Senare utvecklades dessa idéer i Galois-teorin , som möjliggjorde formuleringen av det moderna bevisförklaringen och fungerade som en utgångspunkt i utvecklingen av abstrakt algebra .

Lösbara typer av ekvationer

Även om satsen säger att ekvationerna inte har en generell formel att lösa, tillåter vissa typer av höggradsekvationer exakta lösningar. Bland dem:

• homogen ekvation
• Retur ekvation

Se även

• Galois teori
• Bringa Root
• Lilys metod är en grafisk metod för att hitta de verkliga rötterna till polynom av godtycklig grad.
• Upplösning av en algebraisk ekvation
• Sjätte gradens ekvation

Anteckningar

1. ↑ Alekseev, 2001 , sid. 112.
2. ↑ Alekseev, 2001 , sid. 187.
3. ↑ Alekseev, 2001 , sid. femtio.
4. ↑ Alekseev, 2001 , sid. 9-12.

Litteratur

• Alekseev, V. B. Abels sats i problem och lösningar. -M.: MTSNMO, 2001. - 192 sid. -ISBN 5-900916-86-3. (ryska)
• Tabachnikov, S. L. , Fuchs, D. B. Matematisk divertissement. Föreläsning 5. - MTSNMO, 2011. - 512 sid. -ISBN 978-5-94057-731-7. (ryska)
• Bosch, S. Algebra  (tyska) . — 6. Auflage. - Springer , 2006. - ISBN 3-540-29880-0 .
• Dehn, E. Algebraiska ekvationer: En introduktion till teorierna om Lagrange och Galois  (engelska) . — New York: Columbia University Press , 1930.
• Fraleigh, JB Enförsta kurs i abstrakt algebra  . — Sjunde upplagan. - Pearson Education Limited, 2014. - ISBN 1-292-02496-8 .
• Stewart , I. Galois teori . - Andra upplagan. -Chapman & Hall, 1989. -ISBN 978-94-010-6864-2.

Länkar

• Weisstein, Eric W. Abels Impossibility Theorem  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
• Weisstein, Eric W. Galois's teorem  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
• David Terr & Eric W. Weisstein. Galois Group  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
• Weisstein, Eric W. Solvable Group  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .