Banachs inversoperatorsats

Banachs inversoperatorsats är en av de tre grundläggande principerna för "Banach"-teorin för linjära operatorer ( de andra två är Hahn-Banachs sats och principen om enhetlig begränsning ). [ett]

Formulering

Om en avgränsad linjär operator mappar hela Banach-utrymmet på hela Banach-utrymmet en-till-en , så finns det en linjär avgränsad operator invers till operatorn som mappar till . [2] $A$ $E$ $E_1$ $A^{{-1}}$ $A$ $E_1$ $E$

Konsekvenser

Öppna kartläggningssatsen

En linjär kontinuerlig mappning av ett Banach-utrymme på hela Banach-utrymmet är öppet . [3] $A$ $E$ $E_1$

Trippellemmat

Låt vara Banach-utrymmen och , vara linjära kontinuerliga operatorer , och mappa till allt (dvs. ). Om samtidigt $E, E_1, E_2$ $A \kolon E \till E_1$ $B\kolon E \till E_2$ $B$ $E$ $E_2$ $\mbox{Im}\, B = E_2$

\mbox{Ker} \, A \supset \mbox{Ker}\, B,

då finns det en kontinuerlig linjär operator så att . $C \kolon E_2 \till E_1$ $A=CB$

Här är kärnan och är bilden av operatören . Symboliskt representeras påståendet om trippellemmat bekvämt av följande schema: [4] $\mbox{Ker}\, A$ $\mbox{Im}\,A$ $A$

{\begin{array}{ccccc}{\mbox{Ker}}\,B&\to &E&{\xrightarrow {B}}&E_{2}\\\bigcap &&||&&\downarrow C\\{ \mbox{Ker}}\,A&\to &E&{\xrightarrow {A}}&E_{1}\end{array}}

Anteckningar

↑ Helemsky A. Ya. Linjär operator // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 159.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of theory of functions and functional analysis, 1976 , sid. 227.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of theory of functions and functional analysis, 1976 , sid. 228.

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. — Vetenskap, kap. ed. Phys.-Matte. lit.. - M. , 1976.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Element av funktionell analys. - Ed. 2:a, reviderad .. - M . : Nauka, 1965. - 520 sid.
Weinberg M. M. Funktionsanalys. - M .: Utbildning, 1979. - 128 sid.