Kolmogorovs teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 mars 2016; kontroller kräver 2 redigeringar .

Kolmogorovs teorem i matematisk statistik anger graden av konvergens av provfördelningsfunktionen till dess teoretiska motsvarighet.

Formulering

Låta vara ett urval av storlek , genererat av en slumpmässig variabel , som ges av en kontinuerlig fördelningsfunktion . Låt vara provfördelningsfunktionen . Sedan $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $n$ $F(x)$ $F_{n}(x)$

{\sqrt {n}}\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-F(x)\right|\to K

genom distribution på ,

n\till\infty

där är en slumpvariabel med Kolmogorov-fördelningen . $K$

Notera

Informellt sägs det att sampelfördelningsfunktionens konvergens till dess teoretiska motsvarighet är i storleksordningen . $1/{\sqrt {n))$

Definiera gränserna för förtroendezonen

Kolmogorovs teorem används mycket ofta för att bestämma gränserna inom vilka en teoretisk funktion faller med en given sannolikhet : $F(x)$

P({\sqrt {n}}D_{n}\leq k_{\gamma })=P\left(F_{n}(x)-{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}}\leq F(x)\leq F_{n}(x)+{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}},x\in \mathbb {R} \right ){\xrightarrow {n\to \infty }}K(k_{\gamma })=\gamma ,

$D_{n}=\sup _{x}|F_{n}(x)-F(x)|,$ var är nivåkvantilen för Kolmogorovs distributionslag . $k_{\gamma }$ $\gamma$

Således, med sannolikhet vid är i det angivna intervallet. $\gamma$ $n\to \infty \quad F(x)$

Sannolikheten kallas signifikansnivån . $\gamma$

Området som definieras av dessa gränser kallas den asymptotiska -konfidenszonen $\gamma$ för den teoretiska fördelningsfunktionen.

Kolmogorovs teorem

Formulering

Notera

Definiera gränserna för förtroendezonen

Se även