Lindemann-Weierstrass teorem

Lindemann–Weierstrass-satsen , som är en generalisering av Lindemann-satsen, bevisar transcendensen av en stor klass av tal. Teoremet säger följande [1] :

Om det finns olika algebraiska tal som är linjärt oberoende över , då är de algebraiskt oberoende över , det vill säga graden av transcendens av förlängningen är $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ $\mathbb {Q}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}}$ $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}(e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}})$ $n$

En annan likvärdig formulering används ofta [2] :

För alla distinkta algebraiska tal är talen linjärt oberoende av fältet för algebraiska tal . $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}}$ $\overline {{\mathbb {Q}}}$

Historik

År 1882 bevisade Lindemann att det är transcendentalt för alla icke-noll algebraiska [3] , och 1885 bevisade Karl Weierstrass det mer allmänna uttalandet ovan. $e^{\alpha }$ $\alfa$

Transcendensen av talen e och π följer lätt av Lindemann-Weierstrass sats .

Bevis på transcendens av π

Vi tillämpar bevismetoden genom motsägelse . Antag att talet är algebraiskt. Sedan är talet , där är den imaginära enheten , också algebraiskt, därför är talet enligt Lindemann-Weierstrass sats transcendentalt, men enligt Euler-identiteten är det lika med det algebraiska talet , vilket orsakar en motsägelse. Därför är numret transcendentalt. $\pi$ $i\pi$ $i$ ${\displaystyle e^{i\pi ))$ $-ett$ $\pi$

Anteckningar

↑ Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass teorem (engelska) på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
↑ Alan Baker. Transcendental talteori. - Cambridge University Press, 1975. - ISBN 052139791X . . Kapitel 1, sats 1.4.
↑ F. Lindemann. Über die Zahl π (tyska) // Mathematische Annalen. — bd. 20 (1882) . - S. 213-225 .

Litteratur

Leng S. Algebra. - Moskva: Mir, 1968. - 564 sid.
Shidlovsky A. B. "Diophantine approximations and transcendental numbers" (M. FIZMATLIT, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4