Liouvilles sats om integralen i Hamilton-Jacobis ekvation

Liouville-satsen om integralen av Hamilton-Jacobi-ekvationen är ett uttalande om tillräckliga villkor för integrerbarhet i kvadraturer (förekomsten av en lösning i form av en kombination av elementära funktioner och integraler av dem) i Hamilton-Jacobis ekvation .

Formulering

Om i ett holonomiskt system med frihetsgrader har den kinetiska energin formen $s$ $T$

T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}(q_{m}){\dot {q}}_{m}^ {2}

och den potentiella energin har formen $\Pi$

\Pi ={\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m})

där , då integreringen av Hamilton–Jacobi-ekvationen leder till kvadraturer (lösningen kan representeras som en kombination av elementära funktioner och integraler av dem). [ett] $f=\summa _{{m=1}}^{{s}}F_{{m}}(q_{{m}})$

Bevis

Hamiltonfunktionen för satsens villkor har formen:

H=T+\Pi ={\frac {1}{2}}f\summa _{m=1}^{s}A_{m}(q_{m}){\dot {q}}_ {m}^{2}+{\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m})=h

De generaliserade momenten är

p_{m}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}=fA_{m}(q_{m}){\dot {q}} _{m}

Med detta i åtanke, Hamilton-funktionen:

H={\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {p_{m}^{2}}{2A_{m}(q_ {m})}}+\Pi _{m}(q_{m})\right]=h

Vi gör en ersättare . Hamilton-Jacobis ekvation kommer att ha formen [2] : ${\displaystyle p_{m}={\frac {\partial W}{\partial q_{m))))$

\sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m))}}\left({\frac {\partial W}{\ partiell q_{m}}}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\right]=0

Vi kommer att leta efter hela integralen av denna ekvation i formen:

W=W_{1}(q_{1})+W_{2}(q_{2})+...+W_{s}(q_{s})

Hamilton-Jacobis ekvation kommer att ha formen:

∑ m = ett s [ ett 2 A m ( q m ) ( ∂ W m ∂ q m ) 2 + Π m ( q m ) − h F m ( q m ) ] = 0 ( ett ) {\displaystyle \sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m))}}\left({\frac {\partial W_{m} }{\partial q_{m))}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\right]=0\qquad (1) )}

\sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m))}}\left({\frac {\partial W_{m} }{\partial q_{m))}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\right]=0\qquad (1) )

Varje term på vänster sida av denna ekvation beror på endast en generaliserad koordinat , så metoden för separation av variabler kan tillämpas. Denna ekvation är uppfylld om var och en av termerna är lika med ett konstant värde: ${\displaystyle q_{m))$

{\frac {1}{2A_{m}(q_{m})}}\left({\frac {\partial W_{m}}{\partial q_{m}}}\right)^{ 2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})=\alpha _{m}

och villkoret måste vara uppfyllt . Var och en av ekvationerna (1) är en differentialekvation av första ordningen, vars integration reduceras till kvadratur: $\alpha _{1}+\alpha _{2}+...\alpha _{s}=0$

W_{m}=\int {\sqrt {2A_{m}(q_{m})\left[\alpha _{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi _{m }(q_{m})\right]}}dq_{m}

Således är hela integralen av Hamilton-Jacobis ekvation lika med:

W=\sum _{m=1}^{s}\int {\sqrt {2A_{m}(q_{m})\left[\alpha _{m}+hF_{m}(q_{ m})-\Pi _{m}(q_{m})\right]}}dq_{m}

Denna integral innehåller godtyckliga konstanter och en konstant [3] $s$ ${\displaystyle h,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s-1))$ $\alpha _{s}=-(\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{s-1})$

Anteckningar

↑ Butenin, 1971 , sid. 167.
↑ Butenin, 1971 , sid. 168.
↑ Butenin, 1971 , sid. 169.

Litteratur

Butenin N.V. Introduktion till analytisk mekanik. - M. : Nauka, 1971. - 264 sid.