Nash-teorem om vanliga inbäddningar

Nashs regelbundna inbäddningsteorem , ibland kallad den grundläggande satsen för Riemannsk geometri , är påståendet att varje Riemannmanifold medger en jämn inbäddning i ett euklidiskt utrymme av tillräckligt hög dimension. Formellt medger alla dimensionella Riemannska grenrör av klass , , en isometrisk inbäddning för tillräckligt stor . $m$ $(V^{m},\;g)$ $C^{r}$ $3\leqslant r\leqslant \infty$ $C^{r}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Etablerat av den amerikanske matematikern John Nash , Nash gav också en explicit uppskattning av , som förbättrades flera gånger senare, i synnerhet är satsen giltig för [1] . $n\geqslant m(m+1)(3m+11)/2$ $n\geqslant m^{2}+10m+3$

Beviset introducerade en ny metod för att lösa differentialekvationer, den så kallade Nash-Moser-satsen som ursprungligen bevisades av Nash. En betydande förenkling av beviset gavs av Matthias Günther . [2]

Variationer och generaliseringar

Nash-Kuipers sats är ett liknande resultat för -släta inbäddningar. $C^1$
En liknande sats för pseudo-Riemannska grenrör följer av Nash-satsen, men den kan bevisas utan att använda Nash-Mosers sats . Det är möjligt att konstruera en isometrisk inbäddning i ett pseudo-euklidiskt utrymme endast med hjälp av Nash-vridningar.
Varje smidigt kompakt Finsler-grenrör med strikt konvexa normer tillåter en isometrisk inbäddning i ett ändligt dimensionellt Banach-utrymme . [3] .
Ett liknande resultat är giltigt för analytiska inbäddningar, även etablerade av Nash , men mycket senare [4] .
Pozniaks sats säger att vilken skiva som helst i planet med en riemannisk metrik tillåter en isometrisk nedsänkning i det 4-dimensionella euklidiska rummet. [5] $(\mathbb {R} ^{2},g)$

Anteckningar

↑ se s. 319, Gromov M. , Partial differential relations, Mir 1990
↑ Matthias Günther, Om störningsproblemet i samband med isometriska inbäddningar av Riemannska grenrör, Annals of Global Analysis and Geometry 7 (1989), 69-77.
↑ D. Yu. Burago , S. V. Ivanov . Isometriska inbäddningar av Finslers grenrör // Algebra i Analiz. - 1993. - V. 5 , nr 1 . - S. 179-192 . (ryska)
↑ J. Nash . Analyticitet av lösningar på implicita funktionsproblem med analytiska indata // Uspekhi Mat . Nauk . - 1971. - T. 26 , nr 4 (160) . - S. 217-226 .
↑ E. G. Poznyak . Isometriska nedsänkningar av tvådimensionell Riemannisk metrik i euklidiska rum // Uspekhi Mat . - 1973. - T. 28 , nr 4 (172) . — s. 47–76 .

Litteratur

J. Nash . Inbäddningsproblemet för Riemannska grenrör // Uspekhi Mat . - 1971. - T. 26 , nr 4 (160) . - S. 173-216 .