Fermats räta triangelsats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 oktober 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Fermats högra triangelsats är ett icke-existensbevis inom talteorin , det enda fullständiga beviset kvar av Pierre Fermat [1] . Teoremet har flera ekvivalenta formuleringar:

Om tre kvadrattal bildar en aritmetisk progression , kan steget i progressionen inte vara en kvadrat.
Det finns inga två pytagoreiska trippel där två ben av en trippel är benet och hypotenusan för den andra trippeln.
En rätvinklig triangel , där längden på alla tre sidor är ett rationellt tal , kan inte ha en area lika med kvadraten på ett rationellt tal. Området som definieras på detta sätt kallas ett kongruent tal , så inget kongruent tal kan vara en kvadrat.
En rätvinklig triangel och en kvadrat med samma area kan inte ha kommensurerbara sidor (värden är kommensurerbara om kvoten av dessa kvantiteter är ett rationellt tal).
De enda rationella punkterna på en elliptisk kurva är de tre triviala punkterna (0,0), (1,0) och (−1,0). $y^{2}=x(x-1)(x+1)$
Den diofantiska ekvationen har inga fullständiga lösningar. $x^{4}-y^{4}=z^{2}$

En omedelbar konsekvens av det sista av dessa uttalanden är giltigheten av Fermats sista sats för exponenten . $n=4$

Formulering

Kvadrater av aritmetiska progressioner

År 1225 ombads den italienske matematikern Fibonacci att hitta ett sätt att konstruera trippel av kvadrater som är på samma avstånd från varandra, vilket bildar en aritmetisk progression [2] . Ett sätt att beskriva Fibonacci-lösningen är att representera dessa siffror som skillnaden mellan benen, hypotenusan och summan av benen i Pythagoras trippel , och då kommer progressionssteget att vara lika med den fyrdubbla arean av denna triangel [3 ] . I ett senare arbete om detta problem, publicerat i Book of Squares , noterade Fibonacci att steget för en aritmetisk progression av kvadrater inte i sig kan vara en kvadrat, men gav inte ett tillfredsställande bevis för detta faktum [4] [5 ] .

Om tre kvadrater , och bildade en aritmetisk progression, där steget också är en kvadrat , då dessa tal skulle uppfylla de diofantiska ekvationerna $a^2$ $b^{2}$ $c^{2}$ $d^{2}$

a^{2}+d^{2}=b^{2}

och .

b^{2}+d^{2}=c^{2}

I det här fallet, enligt Pythagoras sats , skulle de bilda två räta trianglar med heltalssidor, där paret skulle vara benet och hypotenusan av den mindre triangeln och samma par skulle vara benen i den större triangeln. Men om det (som Fibonacci visade) inte finns något kvadratsteg i den aritmetiska sekvensen av kvadrater, så kan det inte finnas två rätvinkliga trianglar med heltalssidor vars två sammanfallande sidor är sammankopplade på detta sätt [6] . $(d,b)$

Ytor med räta trianglar

Eftersom steget av en fortskridande av kvadrater är lika med fyra områden i en pythagoras triangel, och multiplikation med fyra inte ändrar om ett tal är en kvadrat, är förekomsten av ett kvadratsteg i en aritmetisk sekvens av kvadrater ekvivalent med förekomsten av en pytagoreisk triangel med en area lika med kvadraten på ett heltal. Detta är den variant som Fermat ansåg i sitt bevis och där han visade att sådana trianglar inte existerar [1] . Det var inte Fibonacci som fick Fermat till denna uppgift, utan att läsa Diophantus bok , utgiven av Claude Gaspard Bachet [1] . Den här boken beskriver olika speciella rätvinkliga trianglar vars area är relaterad till kvadrater men inte är tänkt att vara kvadrater [7] .

Genom att omvandla ekvationerna för de två pytagoreiska trianglarna ovan och sedan multiplicera dem, kan vi få den diofantiska ekvationen

b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}

vilket kan förenklas till

b^{4}-d^{4}=e^{2}.

Omvänt kan vilken lösning som helst av denna ekvation utökas på ett sådant sätt att vi får kvadratsteget i den aritmetiska sekvensen av kvadrater. Lösbarheten för denna ekvation är således ekvivalent med förekomsten av ett kvadratsteg i en aritmetisk sekvens av kvadrater. Men om Fermats sista sats inte var sann för exponenten , så skulle vilket motexempel som helst vara just de tre kvadraterna som uppfyller ekvationen. Av Fermats bevis på att det inte finns någon pytagoreisk triangel med en area lika med kvadraten på ett heltal, följer alltså att ekvationen inte har några lösningar, och därför (för detta fall) är Fermats sista sats sann [7] . $n=4$

En annan formulering av samma problem använder kongruenta siffror , tal som är områdena av räta trianglar med rationella sidor. Genom att multiplicera båda sidor med en gemensam nämnare kan vilket kongruent tal som helst omvandlas till arean av en pythagoras triangel, vilket antyder att kongruenta tal är exakt de tal som erhålls genom att multiplicera steget i en aritmetisk sekvens av kvadrater med kvadraten av en rationellt tal. Det finns alltså inget kvadratsteg i den aritmetiska sekvensen av kvadrater om och endast om talet 1 inte är kongruent [8] [9] . Ekvivalent formulering: det är omöjligt att en kvadrat ( geometrisk figur ) och en rätvinklig triangel har samma area och alla sidor är parvis kommensurerbara (värden är kommensurerbara om kvoten av dessa storheter är ett rationellt tal) [5] .

Elliptisk kurva

En annan likvärdig formulering av Fermats teorem använder en elliptisk kurva som består av punkter vars kartesiska koordinater uppfyller ekvationen $(x,y)$

y^{2}=x(x+1)(x-1).

Denna ekvation har uppenbara lösningar (0,0), (1,0) och (−1,0). Fermats sats motsvarar påståendet att endast dessa punkter på kurvan har båda rationella koordinater [9] [10] .

Fermats bevis

Under sin livstid föreslog Fermat för några andra matematiker att en pytagoreisk triangel med en area som är en kvadrat inte existerar, men han publicerade inte beviset själv. Han skrev dock ner beviset i marginalen till Diophantus' Aritmetik , publicerad av Claude Bachet , som snart upptäcktes och publicerades postumt av hans son [1] [5] .

Fermats bevis använder metoden för oändlig härkomst . Han visade att från vilken instans som helst av en pytagoreisk triangel med en kvadratisk yta kan man få samma instans med en mindre yta. Eftersom pytagoreiska trianglar har en positiv heltalsarea, och det inte finns någon oändligt minskande sekvens av positiva heltal, kan det inte finnas några pytagoreiska trianglar med en area som är kvadraten på ett heltal [1] [5] .

Antag att , och är heltalssidor i en rätvinklig triangel där arean är kvadraten på ett heltal. Efter att ha dividerat med gemensamma faktorer kan vi betrakta triangeln enkel [5] , och från de kända formlerna för enkla pythagoras trianglar kan vi anta , och , som ett resultat av vilket problemet förvandlas till att hitta coprime heltal och (varav en är till och med), sådant som är en kvadrat. De fyra linjära faktorerna , , och är coprime, och måste därför själva vara kvadrater. Låt och . Det är viktigt att notera att och , och måste vara udda, eftersom endast ett av talen är antingen jämnt och det andra är udda. Således, och , och är jämna, och en av dem är delbar med 4. Från dessa två siffror får Fermat två andra tal, och , varav ett är jämnt. Eftersom det är en kvadrat och är benen på en annan enkel Pythagoras triangel, är arean som är lika med . Eftersom sig själv är en kvadrat, och eftersom den är jämn, är den en kvadrat. Således leder varje pytagoreisk triangel med area lika med kvadraten av ett heltal till en mindre pythagoras triangel med kvadratisk area, vilket fullbordar beviset [1] [7] [5] . $x$ $y$ $z$ $x=2pq$ $y=p^{2}-q^{2}$ $z=p^{2}+q^{2}$ $sid$ $q$ $pq(p^{2}-q^{2})$ $sid$ $q$ $p+q$ $pq$ $p+q=r^{2}$ $pq=s^{2}$ $r$ $s$ $sid$ $q$ $(rs)$ $(r+s)$ $u=(rs)/2$ $v=(r+s)/2$ $u^{2}+v^{2}=p$ $u$ $v$ $(uv)/2=q/4$ $q$ $UV$ $q/4$

Länkar

↑ 1 2 3 4 5 6 G. Edwards. Fermats sista sats: En genetisk introduktion till algebraisk talteori. - M .: Mir, 1980. - S. 24; 1.6 Ett bevis på Fermat.
↑ Michael John. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. - Infobase Publishing, 2006. - P. 124. - ISBN 978-0-8160-5423-7 .
↑ Albert H. Beiler. Recreations in theory of Numbers: The Queen of Mathematics underhåller. - Courier Corporation, 1964. - S. 153. - ISBN 978-0-486-21096-4 .
↑ Øystein Malm. Talteori och dess historia. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203. — ISBN 978-0-486-13643-1 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Leonard Eugene Dickson. Talteorins historia. - American Mathematical Society, 1999. - V. 2. - S. 615-626. — ISBN 978-0-8218-1935-7 .
↑ Joshua Cooper, Chris Poirel. Pythagoras partitionsregelbundenhet och ordnade trippelsystem med summaegenskapen. - 2008. - T. 0809 . - S. 3478 . - . - arXiv : 0809.3478 .
↑ 1 2 3 John Stillwell. siffror och geometri. - Springer, 1998. - S. 131-133. - (Grundutbildningstexter i matematik). - ISBN 978-0-387-98289-2 .
↑ Keith Conrad. The congruent number problem // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - Vol. 2 , nummer. 2 . — s. 58–73 . Arkiverad från originalet den 20 januari 2013.
↑ 12 Neal Koblitz . Introduktion till elliptiska kurvor och modulära former. - Springer-Verlag, 1984. - (Examinerade texter i matematik). - ISBN 0-387-97966-2 .
↑ Kazuya Kato, Takeshi Saitō. Talteori: Fermats dröm. - American Mathematical Society, 2000. - P. 17. - ISBN 978-0-8218-0863-4 .

Externa länkar

Weisstein, Eric W. Fermat's Right Triangle Theorem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .